Disequazione trinomia
Le disequazioni trinomie sono disequazioni che si possono scrivere nella forma $$ ax^{2n}+bx^n + c > 0 $$ oppure $$ ax^{2n}+bx^n + c < 0 $$ con a≠0 e n intero positivo.
Per risolvere una disequazione trinomia introduco una variabile ausiliaria t.
$$ t = x^n $$
Poi la risolvo come una disequazione di 2° grado.
$$ at^{2}+bt^n + c > 0 $$
Una volta trovata la soluzione nella variabile ausiliaria t, la converto nella variabile d'origine x.
Nota. Se n=2 la disequazione trinomia diventa una disequazione biquadratica e si risolve allo stesso modo. Ad esempio $$ ax^{2\cdot 2}+bx^2 + c > 0 $$ $$ ax^{4}+bx^2 + c > 0 $$
Un esempio pratico
Devo risolvere la disequazione
$$ x^6 + 2x^3 -15 < 0 $$
Si tratta di una disequazione trinomia
Introduco la variabile ausiliaria t=x3
$$ t^2 + 2t -15 < 0 $$
Poi la risolvo come una disequazione di 2° grado.
L'equazione associata alla disequazione è
$$ t^2 + 2t -15 = 0 $$
Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso l'alto perché il coefficiente di t2 è positivo.
Verifico se l'equazione associata ha delle radici.
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(-15)}}{2}$$
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4+60}}{2}$$
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2}$$
$$ t = \frac{-2 \pm 8}{2} = \begin{cases} t_1 = \frac{-2-8}{2} = -5 \\ \\ t_2 = \frac{-2+8}{2} = 3 \end{cases}$$
L'equazione t^2+2t-15=0 ha due radici t1=-5 e t2=3
Quindi, la disequazione t2+2t-15<0 è soddisfatta nell'intervallo (t1, t2)=(-5,3)
$$ - 5 < t < 3 $$
Una volta nota la soluzione nella variabile ausiliaria t devo tornare alla variabile x
Sapendo che t=x3 allora x=3√t
$$ - \sqrt[3]{5} < x < \sqrt[3]{3} $$
Nota. La variabile t è uguale a x3 $$ t = x^3 $$ quindi per ottenere la variabile x a partire dalla variabile t applico la radice cubica a entrambi membri dell'equazione $$ \sqrt[3]{t} = \sqrt[3]{x^3} $$ $$ \sqrt[3]{t} = x $$
Quindi la disequazione iniziale x6 + 2x3 -15 < 0 è soddisfatta nell'intervallo (-3√5, 3√3)
E così via.
