Le disequazioni esponenziali

Una disequazione è detta disequazione esponenziale quando la variabile incognita si trova nell'esponente di una o più potenze.

Queste disequazioni sono risolvibili se in entrambi i membri le potenze hanno la stessa base.

$$ b^x > b^y $$

In questo caso basta riscrivere la disequazione usando gli esponenti.

  • Se la base è maggiore di 1 la diseguaglianza tra gli esponenti è nello stesso verso $$ x > y $$
  • Se la base è compresa tra 0<a<1 la diseguaglianza tra gli esponenti è nel verso opposto $$ x < y $$

Un esempio pratico

Esempio 1

In questa disequazione l'incognita x è l'esponente di una potenza.

$$ 5^x > 125 $$

Entrambe le basi sono potenze di 5.

Posso quindi riscrivere la disequazione in questo modo

$$ 5^x > 5^3 $$

Ora essendoci la stessa base posso confrontare gli esponenti tra loro.

$$ x > 3 $$

Le basi sono entrambe maggiori di 1 quindi la diseguaglianza tra gli esponenti è nello stesso verso.

il grafico della funzione è crescente

In questi casi il grafico della funzione è crescente, questo vuol dire che x e y sono correlate tra loro in modo diretto.

Esempio 2

In questa disequazione l'incognita x è l'esponente di una potenza.

$$ (\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{125}) $$

Riscrivo la disequazione usando la stessa base

$$ (\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{5})^3 $$

In questo caso le basi sono positive ma inferiori a 1.

Il grafico della funzione è decrescente.

il grafico della funzione

Quindi, la diseguaglianza tra gli esponenti è nel verso opposto

$$ x < 3 $$

Come risolvere le disequazioni esponenziali con i logaritmi

In alcuni casi le disequazioni esponenziali posso risolverle usando i logaritmi.

Questa tecnica si può usare solo se entrambi i membri della disequazione sono numeri positivi, poiché il logaritmo di un numero negativo o nullo non è definito.

Esempio

Considero l'esempio già svolto precedentemente

$$ 5^{x} > 125 $$

Entrambi i membri della disequazione sono numeri positivi, quindi posso procedere.

Applico il logaritmo su base 5 a entrambi i membri

$$ \log_5 5^{x} > \log_5 125 $$

Nota. Qualunque altra base del logaritmo sarebbe andata bene. Ho scelto la base 5 perché mi permette di semplificare il risultato finale.

Per le proprietà dei logaritmi la x esce dal logaritmo

$$ x \cdot \log_5 5 > \log_5 125 $$

Divido entrambi i membri per log5 5.

Essendo il divisore un numero positivo il verso della disequazione resta lo stesso.

$$ \frac{ x \cdot \log_5 5 }{\log_5 5} > \frac{ \log_5 125 }{ \log_5 5 } $$

Nota. Quando il divisore è negativo occorre invertire il verso della disequazione.

In questo modo ricavo la x

$$ x > \frac{ \log_5 125 }{ \log_5 5 } $$

Sapendo che log5 125=3 e che log5 5=1

$$ x > \frac{ 3 }{ 1 } $$

$$ x > 3 $$

Il risultato finale è lo stesso.

E così via.

 


 

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