Le disequazioni esponenziali
Una disequazione è detta disequazione esponenziale quando la variabile incognita si trova nell'esponente di una o più potenze.
Queste disequazioni sono risolvibili se in entrambi i membri le potenze hanno la stessa base.
$$ b^x > b^y $$
In questo caso basta riscrivere la disequazione usando gli esponenti.
- Se la base è maggiore di 1 la diseguaglianza tra gli esponenti è nello stesso verso $$ x > y $$
- Se la base è compresa tra 0<a<1 la diseguaglianza tra gli esponenti è nel verso opposto $$ x < y $$
Un esempio pratico
Esempio 1
In questa disequazione l'incognita x è l'esponente di una potenza.
$$ 5^x > 125 $$
Entrambe le basi sono potenze di 5.
Posso quindi riscrivere la disequazione in questo modo
$$ 5^x > 5^3 $$
Ora essendoci la stessa base posso confrontare gli esponenti tra loro.
$$ x > 3 $$
Le basi sono entrambe maggiori di 1 quindi la diseguaglianza tra gli esponenti è nello stesso verso.
In questi casi il grafico della funzione è crescente, questo vuol dire che x e y sono correlate tra loro in modo diretto.
Esempio 2
In questa disequazione l'incognita x è l'esponente di una potenza.
$$ (\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{125}) $$
Riscrivo la disequazione usando la stessa base
$$ (\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{5})^3 $$
In questo caso le basi sono positive ma inferiori a 1.
Il grafico della funzione è decrescente.
Quindi, la diseguaglianza tra gli esponenti è nel verso opposto
$$ x < 3 $$
Come risolvere le disequazioni esponenziali con i logaritmi
In alcuni casi le disequazioni esponenziali posso risolverle usando i logaritmi.
Questa tecnica si può usare solo se entrambi i membri della disequazione sono numeri positivi, poiché il logaritmo di un numero negativo o nullo non è definito.
Esempio
Considero l'esempio già svolto precedentemente
$$ 5^{x} > 125 $$
Entrambi i membri della disequazione sono numeri positivi, quindi posso procedere.
Applico il logaritmo su base 5 a entrambi i membri
$$ \log_5 5^{x} > \log_5 125 $$
Nota. Qualunque altra base del logaritmo sarebbe andata bene. Ho scelto la base 5 perché mi permette di semplificare il risultato finale.
Per le proprietà dei logaritmi la x esce dal logaritmo
$$ x \cdot \log_5 5 > \log_5 125 $$
Divido entrambi i membri per log5 5.
Essendo il divisore un numero positivo il verso della disequazione resta lo stesso.
$$ \frac{ x \cdot \log_5 5 }{\log_5 5} > \frac{ \log_5 125 }{ \log_5 5 } $$
Nota. Quando il divisore è negativo occorre invertire il verso della disequazione.
In questo modo ricavo la x
$$ x > \frac{ \log_5 125 }{ \log_5 5 } $$
Sapendo che log5 125=3 e che log5 5=1
$$ x > \frac{ 3 }{ 1 } $$
$$ x > 3 $$
Il risultato finale è lo stesso.
E così via.