Le disequazioni letterali
Una disequazione letterale è una disequazione in cui almeno un coefficiente della variabile incognita è una lettera.
Le lettere rappresentano un parametro della disequazione a cui posso assegnare un valore qualsiasi.
Ad esempio
$$ kx + 4 < 8 $$
In questa disequazione è presente una lettera k (parametro) e una variabile incognita x.
La differenza tra parametri e incognite. Un parametro è una costante a cui si può assegnare un valore qualsiasi dall'esterno. L'incognita, invece, è una variabile il cui valore è determinato all'interno della disequazione. In genere, se non specificato diversamente, si considera x come variabile incognita.
In una disequazione letterale possono esserci una o più lettere e incognite.
Le disequazioni letterali posso essere intere o fratte.
Come risolvere una disequazione letterale
Per trovare l'insieme delle soluzioni di una disequazione letterale, devo avviare una discussione sui possibili valori che posso assegnare alle lettere (parametri).
Questi sono i principali passaggi
1] Nel caso delle disequazioni fratte considero la condizione di esistenza della disequazione.
2] Riconduco la disequazione nella forma generale
$$ Ax < B $$
oppure
$$ Ax > B $$
Dove A è l'insieme dei coefficienti dell'incognita mentre B è l'insieme dei termini noti.
3] Avvio una discussione per ciascun intervallo di valori assegnabili ai parametri della disequazione
- Discussione per A>0
- Discussione per A=0
- Discussione per A<0
4] In ciascuna discussione trovo le soluzioni accettabili della disequazione ossia i valori dell'incognita che soddisfano la diseguaglianza.
Nota. Le soluzioni sono dette "accettabili" se soddisfano la condizione di esistenza della disequazione fratta. Nel caso delle disequazioni intere, invece, tutte le soluzioni sono accettabili.
Un esempio pratico
Considero la disequazione letterale intera
$$ 3kx - 7k > -2 + 4kx $$
Dove la lettera k è un parametro (costante) mentre x è la variabile incognita della disequazione.
Riconduco la disequazione nella forma Ax>B
Applico i principi di equivalenza delle disequazioni per spostare i coefficienti nel membro di sinistra.
Sottraggo 4kx in entrambi i membri.
$$ 3kx - 7k - 4kx > -2 + 4kx - 4kx $$
$$ -kx - 7k > -2 $$
Sommo 7k in entrambi i membri
$$ -kx - 7k + 7k > -2 + 7k $$
$$ -kx > 7k-2 $$
Moltiplico entrambi i membri per -1 cambiando il verso dell'operatore.
$$ -kx \cdot (-1) < 7k-2 \cdot (-1) $$
$$ kx < 2-7k $$
Ora la disequazione è nella forma generale Ax<B.
Quindi, posso procedere con la discussione.
Discussione
Avvio la discussione sui possibili valori assegnabili alla lettera k.
- Se k = 0 la disequazione è indeterminata $$ kx < 2-7k $$ $$ 0 \cdot x < 2-7 \cdot 0 $$ $$ 0 < 2 $$ In conclusione, se k=0 la disequazione è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita x.
- Se k> 0 $$ kx < 2-7k $$ $$ \frac{kx}{k} < \frac{2-7k}{k} $$ In conclusione, se k>0 la disequazione è soddisfatta per i valori dell'incognita x minori di (2-7k)/k $$ x < \frac{2-7k}{k} $$
- Se k< 0 $$ kx < 2-7k $$ In questo caso k è un numero negativo perché k<0. Essendo un numero negativo, quando divido entrambi i membri della disequazione per k devo anche cambiare il verso della diseguaglianza. $$ \frac{kx}{k} > \frac{2-7k}{k} $$ In questo modo ricavo l'incognita x. $$ x > \frac{2-7k}{k} $$ In conclusione, se k<0 la disequazione è soddisfatta per i valori dell'incognita x maggiori di (2-7k)/k
Come risolvere una disequazione letterale fratta
Nel caso delle disequazioni letterali fratte devo avviare una discussione per ogni valore assegnabile alla lettera.
Questi sono i principali passaggi della risoluzione
1] Trasformo la disequazione nella forma N/D>0 oppure N/D<0 con k parametro e x incognita
2] Riduco la frazione N/D allo stesso denominatore
3] Individuo la condizione di esistenza (C.E.) della disequazione.
4] Avvio una discussione per ciascun intervallo di valori assegnabili ai parametri della disequazione
- Discussione per k>0
- Discussione per k=0
- Discussione per k<0
In ogni singola discussione studio il segno per il numeratore N>0 e il denominatore D>0. In questo modo individuo i valori dell'incognita x che soddisfano la disequazione N/D>0 o N/D<0.
Anche in questo caso devo considerare soltanto le soluzioni accettabili.
Nota. Le soluzioni sono "accettabili" se soddisfano anche la condizione di esistenza (C.E.) della disequazione fratta.
Un esempio pratico
Considero la disequazione letterale fratta nell'incognita x
$$ \frac{1}{k} > \frac{1}{x} $$
Dove k è una costante (parametro) del problema.
Trasformo la disequazione nella forma Ax>B
$$ \frac{1}{k} - \frac{1}{x} > 0 $$
Porto le frazioni allo stesso denominatore
$$ \frac{x-k}{kx} > 0 $$
La frazione è indefinita per x=0, quindi la condizione di esistenza della disequazione è
$$ C.E. \ x \ne 0 $$
Quindi, avvio la discussione
Discussione
Avvio la discussione sui possibili valori assegnabili alla lettera k.
- Se k = 0 la disequazione è indefinita
perché si annulla il denominatore della frazione - Se k > 0
Studio il segno della frazione considerando il numeratore N>0 e il denominatore D>0 con k>0 $$ x-k > 0 \Longrightarrow x > k $$ $$ kx > 0 \Longrightarrow x > 0 $$ Quindi, lo studio del segno della frazione N/D>0 è il seguente:
In questo caso la disequazione N/D>0 è soddisfatta quando x<0 e x>k $$ \forall \ x<0 \ ∧ \ x>k $$ - Se k < 0
Studio il segno della frazione considerando il numeratore N>0 e il denominatore D>0 con k<0 $$ x-k > 0 \Longrightarrow x > k $$ $$ kx > 0 \Longrightarrow x < 0 $$
Nota. Essendo k un numero negativo, quando divido e moltiplico entrambi i membri per k devo anche cambiare il segno della disequazione. $$ kx > 0 $$ $$ \frac{kx}{k} < \frac{0}{k} $$ x < 0 $$
Quindi, lo studio del segno della frazione N/D>0 è il seguente:
In questo caso la disequazione N/D>0 è soddisfatta quando x>k e x<0 $$ \forall \ x>k \ ∧ \ x<0 $$ ossia per ogni valore dell'incognita x nell'intervallo k<x<0
E così via.
