Disequazioni fratte
Una disequazione fratta è una disequazione in cui l'incognita si trova al denominatore. $$ \frac{A(x)}{B(x)} >0 $$ oppure $$ \frac{A(x)}{B(x)} <0 $$
Come risolvere una disequazione fratta
Per risolvere questo tipo di disequazioni
- Trasformo la disequazione in forma normale $$ \frac{A(x)}{B(x)} > k $$ $$ \frac{A(x)}{B(x)} -k > 0 $$
- Impongo la condizione di esistenza che il denominatore B(x) sia non nullo $$ B(x) \ne 0 $$
- Studio il segno del numeratore A(x) e del denominatore B(x)
- Applico la regola dei segni per studiare il segno della frazione
Nota. Lo stesso vale se al posto delle relazioni di minore o maggiore si trovano le relazioni maggiore-uguale $$ \frac{A(x)}{B(x)} \ge 0 $$ o minore-uguale $$ \frac{A(x)}{B(x)} \le 0 $$.
Un esempio pratico
Devo studiare questa disequazione fratta
$$ \frac{5x-1}{x-3} \ge 1 $$
Trasformo la disequazione nella forma normale portando tutti i termini a sinistra.
$$ \frac{5x-1}{x-3} -1 \ge 0 $$
$$ \frac{5x-1-(x-3)}{x-3} \ge 0 $$
$$ \frac{5x-1-x+3}{x-3} \ge 0 $$
$$ \frac{4x+2}{x-3} \ge 0 $$
Il denominatore non può essere nullo. Se lo fosse si verificherebbe una divisione per zero.
Quindi, impongo come condizione di esistenza della disequazione
$$ x-3 \ne 0 $$
$$ x \ne 3 $$
Per comodità scrivo il simbolo ∄ della non esistenza sul quadro dei segni che man mano andrò a compilare.
A questo punto studio il segno del polinomio al numeratore
$$ 4x+2 \ge 0 $$
$$ x \ge \frac{-2}{4} $$
$$ x \ge \frac{-1}{2} $$
Il numeratore è positivo per ogni x maggiore di -1/2
Poi studio il segno del denominatore
$$ x-3 \ge 0 $$
$$ x \ge 3 $$
Il denominatore è positivo per ogni x maggiore di 3.
A questo punto applico la regola del segno tra i due risultati per studiare il segno della frazione.
Pertanto, la disequazione iniziale è verificata negli intervalli (-∞, -1/2] e (3,+∞).
$$ x \le - \frac{1}{2} \ ∨ \ x \gt 3 $$
In questi intervalli la disequazione è maggiore o uguale a zero.
E così via.
