Figura unita

Una figura è detta "figura unita" se coincide con la sua trasformata.

In altre parole, una figura che coincide con la sua trasformata è definita come "unita".

Si verifica ogni volta che una trasformazione geometrica lascia la figura invariata.

In generale, una figura può essere descritta come unita rispetto a una trasformazione geometrica se mantiene invariate certe proprietà (come distanze, angoli, allineamenti) dopo l'applicazione della trasformazione.

Questo concetto è particolarmente rilevante nelle discussioni su simmetrie, trasformazioni geometriche e operazioni algebriche. E' fondamentale nello studio delle isometrie e delle trasformazioni conformi.

Esempi pratici

Ecco alcuni esempi di come questo concetto può essere applicato:

Una traslazione nulla genera una figura unita perché la trasformata di ogni punto è il punto stesso. In una traslazione nulla il vettore di traslazione è un vettore nullo. $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
La traslazione di una retta è una retta parallela, ovvero una retta della stessa famiglia. Quindi, ogni retta parallela è unita alla retta originale.
La rotazione di 360° di una figura piana genera una figura unita, perché dopo l'applicazione di questa trasformazione la figura appare identica e coincidente all'originale.

In contesti algebrici, un elemento è considerato "unito" rispetto a una particolare operazione se l'applicazione di quella operazione tra quell'elemento e un altro specifico elemento (tipicamente l'elemento neutro dell'operazione) restituisce lo stesso elemento. Ad esempio, la somma di qualsiasi numero e lo zero (elemento neutro dell'addizione) è il numero stesso. $$ x + 0 = x $$ Il prodotto di qualsiasi numero reale e il numero uno (elemento neutro della moltiplicazione) è il numero stesso $$ x \cdot 1 = x $$ Nella teoria dei gruppi e nell'aritmetica modulare, dove gli elementi che rimangono invariati sotto l'azione di un gruppo di trasformazioni giocano un ruolo chiave, il discorso si complica leggermente ma il significato dell'elemento "unito" resta sempre lo stesso.

E così via.