La traslazione

La traslazione è una trasformazione geometrica (isometria) che sposta tutti i punti di una figura di una distanza uniforme, nella stessa direzione e verso, lungo la stessa retta specifica.

Lo spostamento è rappresentato da vettori noti come "vettori di traslazione". La loro lunghezza, o modulo, corrisponde alla distanza percorsa durante la traslazione.

La direzione del vettore indica la direzione dello spostamento, mentre la punta della freccia ne determina il verso.

La direzione e il verso sono due concetti distinti. Mentre la direzione indica la retta in cui avviene il movimento (es. orizzontale, verticale, obliquo, ecc. ), il verso ne specifica l'orientamento. Ad esempio, un oggetto che si muove orizzontalmente può andare sia a destra sia a sinistra. La direzione è la retta orizzontale. Il verso, invece, indica se si sposta a destra o a sinistra.

In geometria, una traslazione sul piano è rappresentata da una coppia di numeri (x;y):

• Il primo valore "x" denota lo spostamento orizzontale. Per convenzione, verso destra se è positivo, e verso sinistra se è negativo.
• Il secondo valore "y" specifica lo spostamento verticale. Per convenzione, verso l'alto se è positivo e verso il basso se è negativo.

In altre parole, i due numeri della coppia rappresentano la scomposizione dello spostamento di un oggetto sul piano lungo l'asse orizzontale (x) e verticale (y).

I termini x e y sono i componenti dello spostamento.

Una figura geometrica, una volta traslata, resta comunque congruente all'originale, perché mantiene inalternata la sua forma e le sue dimensioni.

Dopo la traslazione la distanza tra due punti qualsiasi della figura è sempre la stessa.

Pertanto, la traslazione è un particolare tipo di isometria.

Le equazioni della traslazione

Le equazioni che descrivono una traslazione sono formulate in termini delle componenti x e y dello spostamento.

$$ \begin{cases} x' = x_0 + x \\ \\ y' = y_0 + y \end{cases} $$

Dove x′ e y′ rappresentano le nuove coordinate, mentre x​ e y​ indicano lo spostamento rispetto alle coordinate originali x₀ e y₀.

Esempio

Il rettangolo ABCD ha i suoi vertici alle coordinate A(1;1), B(2;1), C(1;3) e D(2;3) del piano.

Considero una traslazione (3;1) composta da x=3 passi in orizzontale verso destra e y=1 passi in verticale verso l'alto.

Applico la traslazione in orizzontale +3 alla componente x di ogni punto della figura:

$$ \begin{cases} A'(1+3;1) \\ B'(2+3;3) \\ C'(1+3;3) \\ D'(2+3;3) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} A'(4;1) \\ B'(5;2) \\ C'(4;1) \\ D(5;2) \end{cases} $$

In questo modo la figura si sposta verso destra.

Le frecce di colore rosso sono i vettori dello spostamento per la componente x (orizzontale).

Ogni punto della figura viene spostato in orizzontale della stessa misura. In questo caso, ogni punti viene spostato di 3 posizioni verso destra.

Cos'è un vettore? Un vettore è una grandezza caratterizzata da una lunghezza/intensità, detta modulo, una direzione e un verso. La coda del vettore indica il punto di origine mentre la freccia quello di destinazione.

Ad esempio, il vettore che ha origine dal punto A al punto A' si dice "vettore applicato al punto A". Nel caso della traslazione lo stesso vettore è applicato a tutti i punti della figura geometrica.

Poi eseguo la traslazione +1 della componente verticale, spostando verso l'alto i punti A', B', C', D' della figura.

$$ \begin{cases} A'(4;1+1) \\ B'(5;2+1) \\ C'(4;1+1) \\ D(5;2+1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} A'(4;2) \\ B'(5;3) \\ C'(4;2) \\ D(5;3) \end{cases} $$

Queste ultime sono le coordinate finali della figura dopo la traslazione.

In altre parole, alle coordinate (x;y) di ciascun punto della figura ho sommato algebricamente le componenti (x;y) dello stesso vettore v(3;1).

 

 

 

 

La traslazione è una isometria

La traslazione è una isometria perché la distanza relativa tra i punti non cambia dopo la trasformazione geometrica.

Dimostrazione

Per dimostrare che una traslazione è una isometria, considero due punti qualsiasi A e B di una figura.

A questi due punti applico lo stesso vettore di traslazione $ \vec{v} $$ e individuo le immagini dei punti A' e B' dopo la trasformazione geometrica.

In un'isometria non cambia la distanza tra i punti.

Quindi, devo dimostrare che la distanza tra i punti A' e B' è la stessa tra i punti A e B.

I segmenti AA' e BB' sono congruenti e paralleli, perché ho utilizzato lo stesso vettore di traslazione.

 

Pertanto, unendo tutti i punti, la figura AA'B'B è un parallelogramma.

In un parallelogramma tutti i lati opposti sono congruenti e paralleli.

Di conseguenza, anche i segmenti AB e A'B' sono congruenti, ovvero hanno la stessa lunghezza.

$$ \overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$

Questo dimostra che la distanza tra i punti A e B e quella tra i punti A' e B' è la stessa.

Pertanto, la traslazione è un'isometria.

La traslazione nello spazio

Una traslazione nello spazio è una trasformazione geometrica che sposta ogni punto di un solido di un vettore \(\vec{v}\), mantenendo inalterate le distanze e gli angoli tra i punti del solido.

Se un punto \( P(x, y, z) \) viene traslato secondo un vettore \( \vec{v} = (a, b, c) \), le sue coordinate dopo la trasformazione diventano:

\[ P'(x', y', z') = (x + a, y + b, z + c). \]

Questo mostra come la traslazione sia una somma vettoriale nelle tre dimensioni.

Quindi, la traslazione nello spazio tridimensionale segue esattamente le stesse regole della traslazione nel piano, ma con l'aggiunta della terza dimensione.

Le proprietà della traslazione nello spazio

La traslazione conserva tutte le proprietà metriche della figura solida. Questo garantisce che la figura traslata sia perfettamente congruente a quella originale.

In particolare sono congruenti le lunghezze dei segmenti che rimangono invariate, gli angoli, le relazioni di parallelismo e di allineamento.

Pertanto, anche nello spazio la traslazione è una isometria, ovvero preserva la distanza tra i punti.

Inoltre, è una trasformazione affine, perché mantiene il parallelismo, la collinearità e i rapporti tra segmenti allineati.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sulla traslazione

• La composizione di più traslazioni è ancora una traslazione
  La composizione sequenziale di due o più traslazioni è equivalente a un'unica traslazione, il cui vettore è la somma vettoriale dei vettori delle traslazioni originarie. Pertanto, eseguire due o più traslazioni in successione su una figura equivale all'applicazione di una singola traslazione definita dalla combinazione lineare dei vettori di traslazione iniziali.
  
• La traslazione di una retta è sempre una retta parallela oppure coincidente.
  Se il vettore di traslazione ha la stessa direzione della retta, in un verso o nell'altro è indifferente, il risultato della traslazione è una retta coincidente.
  
  Se, invece, ha una direzione diversa, il risultato è una retta parallela.
  
• La traslazione nulla coincide con l'identità
  Una traslazione è detta nulla se il vettore di traslazione è un vettore nullo, ovvero un vettore con modulo uguale a zero, direzione e verso indeterminati.$$ \vec{v} =  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Se sommo il vettore nullo a un punto qualsiasi, il risultato è il punto stesso. Le sue coordinate cartesiane non cambiano. $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Pertanto, la traslazione nulla di una figura coincide con la figura stessa. Il risultato è una figura unita. In altre parole è una identità.

  Cos'è una figura unita? Una figura è detta figura unita se la sua trasformata coincide con la figura stessa. Ad esempio, la traslazione nulla genera una figura unita.

E così via.