Aritmetica modulare

Cos'è l'aritmetica modulare

L'aritmetica modulare è una disciplina matematica che studia le applicazioni dei numeri interi entro un determinato modulo.

E' detta anche aritmetica dell'orologio perché i numeri interi si avvolgono su stessi quando raggiungono il modulo (o un multiplo del modulo).

l'aritmetica modulare e la metafora dell'orologio

Così come accade alle lancette dell'orologio, quando raggiungono le 12 ripartono da 0, anche i numeri interi nell'aritmetica modulare ripartono da capo.

Chi l'ha ideata? L'aritmetica modulare venne ideata da Carl Friedrich Gauss nel 1801 nel trattato Disquisitiones Arithmeticae.

Un esempio pratico

Ho un insieme S composto da 10 numeri interi { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Nell'aritmetica tradizionale l'addizione 5+5 è uguale a 10.

$$ 5+5 = 10 $$

Nell'aritmetica modulare, invece, il numero 10 non è incluso nell'insieme S.

In questo caso il risultato è 0 perché il computo riparte da capo una volta oltrepassato il modulo.

$$ 5+5=0 $$

Questo accade perché l'insieme dei numeri S non è infinito, bensì S un insieme finito composto da 10 numeri.

un esempio di aritmetica modulare

In questo caso il modulo è uguale a 10.

$$ \mod 10 $$

Nota. Potrei comunque creare aritmetiche modulari con modulo 8, 6, ecc. Il principio è sempre lo stesso.

C'è un'equivalenza tra il risultato dell'aritmetica decimale e quello dell'aritmetica su modulo 10.

$$ 10 \equiv 0 \mod 10 $$

Con lo stesso criterio nell'aritmetica modulare posso svolgere le altre somme.

$$ 5+6=1 \\ 5+7=2 \\ 5+8=3 $$

Nota. Lo stesso vale per qualsiasi multiplo del modulo e per qualsiasi altra operazione aritmetica ( somma, sottrazione, ecc. ).

Per semplificare la spiegazione costruisco la tavola di composizione della somma modulare.

a+b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Con lo stesso metodo posso costruire la tavola della sottrazione modulo 10 o di altri moduli e operazioni.

Le congruenze

Due numeri si dicono congruenti tra loro se divisi per m hanno lo stesso resto.

Esempio

I numeri 20 e 5 sono congruenti con il modulo 3

$$ 20 \equiv 5 \mod 3 \Rightarrow \begin{cases} \frac{20}{3} = 6 \mod 2 \\ \frac{5}{3} = 1 \mod 2 \end{cases} $$

perché entrambi i numeri divisi per 3 hanno lo stesso resto 2.

E così via.

 


 

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knowledge base
  1. L'aritmetica modulare
  2. Le congruenze
  3. Le congruenze lineari
  4. I sistemi di congruenze lineari