Teoria dei gruppi
La teoria dei gruppi è una branca dell'algebra che introduce il concetto di gruppo e contribuisce allo sviluppo dell'algebra moderna detta algebra astratta.
Un gruppo è una struttura algebrica (G,*) composta
- da un insieme non vuoto G
- da un'operazione binaria interna $$ *:G×G \rightarrow G $$ che rispetta la proprietà associativa, l'esistenza di un elemento neutro e l'esistenza dell'inverso di ogni elemento
Esempio. Un esempio di gruppo semplice è la struttura algebrica (Z,+) ossia l'insieme dei numeri interi con l'operazione di addizione .
I gruppi permettono la definizione di molte altre strutture algebriche. Ad esempio, gli anelli, i campi, gli spazi vettoriali, ecc.
La nascita della teoria dei gruppi
Dopo la scoperta delle formule risolutive per radicali delle equazioni fino al 4° grado, i matematici cercarono delle formule risolutive anche per le equazioni di grado superiore.
Agli inizi del XIX secolo diversi matematici giunsero alla conclusione che le equazioni di 5° grado non erano risolvibili tramite i radicali.
Tra questi ricordo gli studi di Ruffini (1813), Abel (1825), Galois (1832).
Il matematico francese Evariste Galois associò ogni equazione algebrica a un gruppo finito dimostrando che le equazioni ammettono una risoluzione per radicali solo se il gruppo è composto da gruppi semplici abeliani.
Il lavoro di Galois è considerata la pietra miliare della teoria dei gruppi. E' nota come teoria di Galois.
Tuttavia, il concetto moderno di gruppo si deve agli studi del matematico inglese Arthur Cayley che nel 1854 fornì per primo una definizione di "gruppo astratto" usando l'elemento neutro e il rispetto della proprietà associativa.
Inizialmente i gruppi furono usati nello studio delle permutazioni.
Successivamente i matematici si resero conto che il gruppo astratto era un concetto generale e poteva essere applicato in molti contesti (es. insiemi numerici, equazioni differenziali, ecc.).
I principali matematici della seconda metà del XIX che si occuparono di questo campo di studio furono Kronecker, Lie, Klein.
All'inizio del XIX la teoria dei gruppi si era affermata come una nuova teoria locale della matematica dotata di propri assiomi.
Nota. L'idea di gruppo come struttura algebrica composta da insieme e un'operazione binaria associativa, elemento neutro e inverso si deve alla matematica tedesca Emmy Noether negli anni '20.
Dapprima furono studiati i gruppi finiti giungendo a una discreta completezza.
Gli studi sui gruppi infiniti sono, invece, più recenti e tutt'ora in corso.
Nota. La teoria dei gruppi ha contribuito alla nascita di un approccio moderno alla matematica, non più basata soltanto sulle teorie generali ma anche sulle teorie locali.
E così via.
