Composizione di trasformazioni geometriche
La composizione di trasformazioni geometriche è l'applicazione di due o più trasformazioni in sequenza allo stesso oggetto. $$ s \circ t $$
Si legge "s composto t", dove "t" è la prima trasformazione mentre "s" è la seconda trasformazione. Quindi, la composizione si legge da destra verso sinistra.
Un esempio pratico
Ad esempio, considero una figura geometrica iniziale.
Come prima trasformazione geometrica applico una rotazione di 90° intorno al centro di rotazione A.
Poi applico al risultato la seconda trasformazione geometrica. Ad esempio, una traslazione in avanti rispetto al segmento AB.
Il risultato finale è la composizione di due trasformazioni geometriche.
Nota. Una trasformazione geometrica consiste nel modificare una figura secondo determinate regole, senza alterarne alcune proprietà fondamentali. Sono trasformazioni geometriche le traslazioni, rotazioni, riflessioni e dilatazioni.
E' utile sottolineare che la composizione delle trasformazioni geometriche non soddisfa la proprietà commutativa.
Quindi, è fondamentale prestare attenzione all'ordine in cui le trasformazioni vengono applicate, poiché questo può influenzare notevolmente il risultato finale.
La composizione delle trasformazioni nello spazio
Le composizioni delle trasformazioni geometriche si applicano anche alle figure solide nello spazio.
Quando applico una trasformazione geometrica a una figura, ottengo una nuova figura trasformata. Se poi applico un'altra trasformazione a questa nuova figura, ottengo un'altra trasformazione finale.
Esempio
Prendo una figura nello spazio \( \mathcal{F} \), ad esempio una piramide con base quadrata, e applico una traslazione come prima trasformazione \( t_1 \). Ora ho un nuovo solido \( \mathcal{F}_1 \).
Poi applico una simmetria rispetto a un piano come seconda trasformazione \( t_2 \) e ottengo un nuovo solido \( \mathcal{F}_2 \).
Questa combinazione è un esempio di trasformazione composta \( t_2 \circ t_1 \) nello spazio, dove si applica prima \( t_1 \) e poi \( t_2 \)..
Quindi, invece di fare i due passaggi separati, posso applicare direttamente la trasformazione \( t_2 \circ t_1 \) al solido iniziale \( \mathcal{F} \) per ottenere il solido finale \( \mathcal{F}_2 \).
Nota. Anche nello spazio, l'ordine delle trasformazioni geometriche è fondamentale perché, in generale, la composizione non è commutativa. Questo significa che applicare due trasformazioni in ordine diverso può portare a risultati differenti.
E così via
