Punto unito

Un punto si dice punto unito (o punto fisso) rispetto a una trasformazione geometrica se la sua posizione rimane invariata dopo l'applicazione della trasformazione.

In altre parole, se dopo la trasformazione geometrica il punto mantiene le stesse coordinate iniziali, allora è detto punto unito della trasformazione.

Formalmente, dato un'applicazione \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \), un punto \( P \) si dice **unito** se \( T(P) = P \).

Ad esempio, in una rotazione sul piano il punto centrale \( P \) della rotazione è un punto fisso, perché conserva le stesse coordinate iniziali dopo la trasformazione geometrica.

I punti uniti possono anche essere più di uno.

Ad esempio, nella simmetria rispetto a una retta \( r \), tutti i punti dell'asse di simmetria \( r \) sono uniti.

Può anche capitare che tutti i punti siano uniti in una trasformazione.

Ad esempio, una rotazione completa di 360° di una figura piana intorno a un punto centrale \( P \) non modifica le coordinate di nessun punto della figura.

In questo caso tutti i punti sono uniti e la stessa figura geometrica è detta figura unita della trasformazione.

Ci sono anche casi in cui nessun punto mantiene la sua posizione, quindi nessun punto è unito.

Ad esempio, nella traslazione nessun punto è unito a meno che sia la traslazione nulla.

Questi sono solo alcuni esempi pratici di punti fissi di una trasformazione geometrica.

Nota. Il concetto di punto unito o punto fisso di una trasformazione geometrica si estende dallo spazio bidimensionale al tridimensionale senza variazioni nella definizione. Un punto è detto fisso se mantiene invariate le proprie coordinate dopo l'applicazione della trasformazione. L'unica differenza nello spazio tridimensionale è il numero di coordinate che descrivono un punto, che passano da due \((x, y)\) a tre \((x, y, z)\).

E così via.