Invarianti di una trasformazione geometrica

Gli invarianti di una trasformazione geometrica sono le proprietà che rimangono inalterate ("non variano") quando una figura è sottoposta a quella trasformazione.

Gli invarianti dipendono dal tipo di trasformazione considerata.

Ogni tipo di trasformazione geometrica ha i suoi specifici invarianti.

A cosa servono? L'identificazione degli invarianti è utile per studiare e comprendere le proprietà delle figure geometriche e il loro comportamento sotto varie trasformazioni.

Un esempio pratico

In una traslazione, tutti i punti di una figura si spostano nella stessa direzione e di una stessa distanza.

Quindi, restano invariate le distanze tra i punti, la forma, la dimensione e l'orientamento della figura.

Esempio 2

In una rotazione, una figura ruota attorno a un punto fisso P.

In questo caso gli invarianti sono il punto fisso, le distanze tra i punti, la forma e la dimensione della figura.

Esempio 3

In una riflessione (specchiamento) una figura viene capovolta rispetto a una linea detta asse di riflessione.

Gli invarianti della riflessione sono le distanze tra punti, la forma e la dimensione.

Nota. In generale, una isometria (es. traslazione, rotazione, riflessione, ecc.) è una trasformazione geometrica che mantiene invariata la distanza tra ogni coppia di punti, ossia i cosiddetti "movimenti rigidi". Quindi, le distanze, la forma e la dimensione sono proprietà invarianti di qualsiasi isometria.

Esempio 4

In una omotetia (dilatazione) la figura viene scalata rispetto a un punto fisso, chiamato centro di omotetia.

In questo caso gli invarianti sono il rapporto delle distanze tra i punti rispetto al centro di omotetia, la forma ma non la dimensione assoluta delle figure.

Nota. L'omotetia non è una isometria. A differenza delle isometrie, l'omotetia modifica le distanze assolute tra i punti e, quindi, le dimensioni delle figure pur mantenendo inalterate le loro proporzioni e forme.

E così via.