Esercizio sulle equazioni differenziali 12
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''+4y=0 $$
E' un'equazione differenziale lineare del 2° ordine.
E' un'equazione differenziale lineare e omogenea con coefficienti a=1, b=0, c=4.
Per risolverla utilizzo l'equazione caratteristica tramite una variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 4 = 0 $$
$$ t^2 + 4 = 0 $$
Trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica
$$ t^2 = - 4 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{-4} $$
$$ t = \sqrt{-4} $$
Il radicando è negativo.
Per calcolare la radice quadrata utilizzo i numeri complessi.
$$ t = \sqrt{4 \cdot (-1)} $$
Il quadrato dell'unità immaginaria è meno 1 ossia i2=-1
$$ t = \sqrt{4 \cdot i^2} $$
$$ t = i \sqrt{4} $$
Ora il radicando è positivo, quindi posso calcolare la radice quadrata.
$$ t = \pm i \cdot 2 $$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono due numeri complessi in forma algebrica α±iβ
$$ t = \pm i \cdot 2 = \begin{cases} t_1 = -i \cdot 2 \\ \\ t_2 = +i \cdot 2 \end{cases} $$
La parte reale delle soluzioni è α=0 mentre il coefficiente della parte immaginaria è β=2
Essendo due soluzioni complesse, l'equazione differenziale si risolve in questo modo
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos (\beta x ) + c_2 \cdot e^{\alpha x} \sin (\beta x ) $$
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} \cos (2 \cdot x ) + c_2 \cdot e^{0 \cdot x} \sin (2 \cdot x ) $$
Sapendo che e0=1
$$ y = c_1 \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot x ) + c_2 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot x ) $$
$$ y = c_1 \cos (2x ) + c_2 \sin (2x ) $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = c_1 \cos (2x ) + c_2 \sin (2x ) $$
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
