Il metodo del Wronskiano
Metodo del Wronskiano delle equazioni differenziali
Il metodo del Wronskiano è un metodo per trovare una soluzione particolare di un'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea. $$ y''+a(x)y'+b(x)y = f(x) $$
L'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea
$$ y''+a(x)y'+b(x)y = f(x) $$
con una soluzione omogenea
$$ y_o = c_1 v_1(x) + c_2 v_2(x) $$
ha una soluzione particolare del tipo
$$ y_p = c_1(x) v_1 (x) - c_2(x) v_2(x) $$
dove c1(x) e c2(x) sono funzioni ottenute dalle formule
$$ c_1(x) = - \int v_2(x) \frac{f(x)}{W(x)} \ dx $$
$$ c_2(x) = - \int v_1(x) \frac{f(x)}{W(x)} \ dx $$
la funzione W(x) al denominatore è detta Wronskiano e si ottiene nel seguente modo
$$ W(x) = v_1(x) v'_2(x) - v_2(x) v'_1(x) $$
Nota. Il Wronskiano si ottiene scrivendo il sistema $$ \begin{cases} c'_1(x) v_1 + c'_2(x)v_2 = 0 \\ \\ c'_1(x) v'_1 + c'_2(x) v'_2 = f(x) \end{cases} $$ Scrivo la matrice del sistema $$ \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ v'_1 & v'_2 \end{pmatrix} $$ Il Wronskiano è il determinante della matrice $$ v_1(x) v'_2(x) - v_2(x) v'_1(x) $$
Un esempio pratico
Ho l'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea
$$ y''-2y'-3y = \frac{4x-1}{x^2} e^{3x} $$
La soluzione omogenea dell'equazione è
$$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} $$
Nota. L'equazione differenziale omogenea associata è $$ y''-2y'-3y = 0 $$ Trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica $$ z^2 - 2z - 3 = 0 $$ In questo caso sono due soluzioni distinte $$ z = \frac{2 \pm \sqrt{4+4(1)(-3)}}{2} = \begin{cases} z_1 = \frac{2-4}{2} = -1 \\ \\ z_2 = \frac{2+4}{2} = 3 \end{cases} $$ Essendo due soluzioni distinte la soluzione omogenea è $$ y_o = c_1 e^{z_1x} + c_2 e^{z_2 x} $$ Dove z1=-1 e z2=3 $$ y_o = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} $$
La soluzione particolare è del tipo
$$ y_p = c_1(x) v_1 (x) + c_2(x) v_2(x) $$
Dove v1 e v2 sono le funzioni nella soluzione omogenea yo=c1v1 + c2v2
In questo caso v1=e-x e v2=e3x
$$ y_p = c_1(x) e^{-x} - c_2(x) e^{3x} $$
Le funzioni c1(x) e c2(x) sono
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int v_2(x) \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int v_1(x) \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \end{cases} $$
Sapendo che v1=e-x e v2=e3x
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int e^{3x} \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int e^{-x} \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \end{cases} $$
Calcolo il wronskiano
$$ W(x) = v_1(x) v'_2(x) - v_2(x) v'_1(x) $$
$$ W(x) = e^{-x} \cdot D_x[ e^{3x} ] - e^{3x} \cdot D_x[ e^{-x} ] $$
$$ W(x) = e^{-x} \cdot 3 e^{3x} - e^{3x} \cdot - e^{-x} $$
$$ W(x) = 3e^{-x+3x} + e^{3x-x} $$
$$ W(x) = 3e^{2x} + e^{2x} $$
$$ W(x) = 4e^{2x} $$
Sostituisco il wronskiano nelle equazioni per calcolare c1(x) e c2(x)
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int e^{3x} \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int e^{-x} \frac{f(x)}{W(x)} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int e^{3x} \frac{f(x)}{4e^{2x}} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int e^{-x} \frac{f(x)}{4e^{2x}} \ dx \end{cases} $$
Sapendo che f(x) = (4x-1)/x2·e3x
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int e^{3x} \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{3x}}{4e^{2x}} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int e^{-x} \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{3x}}{4e^{2x}} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{3x+3x}}{4e^{2x}} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{3x-x}}{4e^{2x}} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{6x}}{4e^{2x}} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{2x}}{4e^{2x}} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{6x-2x}}{4} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} }{4} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} e^{4x}}{4} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{\frac{4x-1}{x^2} }{4} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \int \frac{4x-1}{4x^2} e^{4x} \ dx \\ \\ c_2(x) = - \int \frac{4x-1}{4x^2} \ dx \end{cases} $$
Risolvo gli integrali e ottengo
$$ \begin{cases} c_1(x) = - \frac{e^{4x}}{4x} \\ \\ c_2(x) = - ( \frac{1}{4x} + \log |x| ) \end{cases} $$
Sostituisco c1(x) e c2(x) nella soluzione particolare
$$ y_p = c_1(x) e^{-x} - c_2(x) e^{3x} $$
$$ y_p = - \frac{e^{4x}}{4x} e^{-x} - [ - ( \frac{1}{4x} + \log |x| ) ] e^{3x} $$
$$ y_p = - \frac{e^{4x-x}}{4x} + ( \frac{1}{4x} + \log |x| ) e^{3x} $$
$$ y_p = - \frac{e^{3x}}{4x} + \frac{e^{3x}}{4x} + e^{3x} \log |x| $$
Pertanto, la soluzione particolare dell'equazione differenziale è
$$ y_p = e^{3x} \log |x| $$
Una volta nota la soluzione particolare e la soluzione omogenea, basta sommarle per trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$ y = y_o + y_p $$
Sapendo che la soluzione omogenea è yo=c1e-x+c2e3x e la soluzione particolare è yp=e3x·log |x|
$$ y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} + e^{3x} \log |x| $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'equazione differenziale iniziale.
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi
E così via.
