Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine
Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti si presenta in questa forma $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ Dove a,b,c sono coefficienti reali costanti.
Per risolvere questo tipo di equazione differenziale devo studiare la sua equazione caratteristica (o polinomio caratteristico) di 2° grado con incognita z
$$ az^2 + bz+ c = 0 $$
Se l'equazione caratteristica ha
- due soluzioni distinte z1 ≠ z2 ossia Δ>0
allora la soluzione generale dell'equazione differenziale è $$ y = c_1e^{z_1x} + c_2e^{z_2x} $$ - due soluzioni coincidenti z1 = z2 ossia Δ=0
allora la soluzione generale dell'equazione differenziale è $$ y = c_1e^{z_1x} + x \cdot c_2e^{z_1x} $$ - due soluzioni complesse α+iβ e α-iβ ossia Δ<0
allora la soluzione generale dell'equazione differenziale è $$ y = c_1 e^{\alpha x } \cos (\beta x) + c_2 e^{ \alpha x} \sin (\beta x) $$
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine
$$ y''-3y'-4y=0 $$
E' un'equazione lineare a coefficienti costanti del tipo ay''+by'+c=0 con a=1, b=-3 e c=-4
Per risolverla studio l'equazione caratteristica
$$ az^2+bz+c = 0 $$
Sostituisco a=1, b=-3 e c=-4
$$ z^2-3z-4 = 0 $$
L'equazione caratteristica ha le seguenti soluzioni
$$ z = \frac{3 \pm \sqrt{9+4(-4)}}{2} =\frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} =\frac{3 \pm 5}{2} = \begin{cases} z=\frac{3+5}{2}=4 \\ \\ z=\frac{3-5}{2}=-1 \end{cases} $$
Sono due soluzioni distinte z1=4 e z2=-1
Quindi, la soluzione associata all'equazione differenziale è
$$ y = c_1e^{z_1x} + c_2e^{z_2x} $$
Sostituisco z1=4 e z2=-1
$$ y = c_1e^{4x} + c_2e^{-x} $$
Ho trovato la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Esempio 2
Ho l'equazione differenziale
$$ y''+6y'+9y=0 $$
Considero l'equazione caratteristica associata con a=1, b=6, c=9 usando l'incognita z
$$ z^2+6z+9=0 $$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono coincidenti
$$ z= \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(9)}}{2}=\frac{-6 \pm \sqrt{36-36}}{2} = \frac{-6 \pm 0}{2} = -3 $$
Essendo due soluzioni coincidenti z1=z2=3, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1e^{z_1x} + x \cdot c_2 e^{z_2x} $$
$$ y = c_1e^{-3x} + x \cdot c_2 e^{-3x} $$
Esempio 3
Ho l'equazione differenziale
$$ y''+2y'+2y=0 $$
L'equazione caratteristica associata con a=1, b=2, c=2 è
$$ z^2+2z+2=0 $$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono numeri complessi
$$ z= \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(2)}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \begin{cases} z_1 = \frac{-2+(2i)}{2} = -1 +i \\ \\ z_2 = \frac{-2-(2i)}{2} = -1-i \end{cases} $$
Le soluzioni complesse e coniugate sono
$$ \alpha + i \beta = -1 + i \cdot 1 $$ $$ \alpha - i \beta = -1 - i \cdot 1 $$
Da queste determino i valori di alfa e beta α±iβ
$$ \alpha = -1 $$
$$ \beta = 1 $$
Quindi, essendo due soluzioni complesse, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1 e^{\alpha x } \cos (\beta x) + c_2 e^{ \alpha x} \sin (\beta x) $$
$$ y = c_1 e^{-1 \cdot x } \cos (1 \cdot x) + c_2 e^{-1 \cdot x} \sin (1 \cdot x) $$
$$ y = c_1 e^{-x } \cos (x) + c_2 e^{-x} \sin (x) $$
La dimostrazione
Un'equazione differenziale lineare e omogenea del secondo ordine si presenta in questa forma
$$ a \cdot y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0 $$
Una possibile soluzione dell'equazione è y=ezx dove z è una costante qualsiasi, poiché
$$ y = e^{zx} $$
$$ y' = D_x[e^{zx} ] = z \cdot e^{zx} $$
$$ y'' = D_x[ z \cdot e^{zx} ] = 0 \cdot e^{zx} + z \cdot ( z \cdot e^{zx} ) = z^2 \cdot e^{zx} $$
Sostituisco y, y' e y'' nell'equazione differenziale
$$ a \cdot y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0 $$
$$ a \cdot z^2e^{zx} + b \cdot z e^{zx} + c \cdot e^{zx} = 0 $$
Metto in evidenza l'esponenziale
$$ ( a \cdot z^2 + b \cdot z + c ) \cdot e^{zx} = 0 $$
Poiché l'esponenziale non è mai uguale a zero, le uniche soluzioni possibili sono le radici dell'equazione di 2° grado az2+bz+c=0 detta equazione caratteristica associata all'equazione differenziale
$$ a \cdot z^2 + b \cdot z + c = 0 $$
Questo dimostra la tecnica di risoluzione delle equazioni differenziali lineari omogenee del 2° ordine a coefficienti costanti.
E così via.
