Le equazioni differenziali lineari del primo ordine
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine si presenta in questa forma dove a(x) e b(x) sono due funzioni note continue nell'intervallo. $$ y' + a(x) \cdot y = b(x) $$
Per trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale uso il metodo della variazione delle costanti (metodo di Lagrange o metodo del fattore integrante)
$$ y = e^{ - \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} \ dx + c \ ] $$
Va specificato che un'equazione differenziale lineare ha anche due casi particolari più semplici
- Se b(x)=0 l'equazione differenziale diventa omogenea e si riduce a un'equazione differenziale a variabili sostituibili $$ y' + a(x) \cdot y = 0 $$
- Se a(x)=0 l'equazione differenziale diventa elementare e quindi risolvibile con un integrale $$ y' = b(x) $$
L'equazione differenziale lineare è detta completa quando b(x)≠0.
Attenzione. Un'equazione differenziale non è lineare se la funzione y è un quadrato, un cubo o una potenza con esponente diversa da uno. Ad esempio, questa equazione differenziale non è lineare $$ y'+a(x) \cdot y^2= b(x) $$
Un esempio pratico
Ho l'equazione differenziale
$$ y'+2xy=x $$
E' un'equazione differenziale lineare del tipo y'+a(x)y=b(x) dove a(x)=2x e b(x)=x
Quindi posso risolverla con la formula
$$ y = e^{ - \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} \ dx + c \ ] $$
$$ y = e^{ - \int 2x \ dx} \cdot [ \int x \cdot e^{\int 2x \ dx} \ dx + c \ ] $$
L'integrale di 2x è la primitiva F(x)=x2
$$ y = e^{ - x^2} \cdot [ \int x \cdot e^{x^2} \ dx + c \ ] $$
L'integrale del prodotto x·ex^2 è la primitiva F(x)=1/2·ex^2
$$ y = e^{ - x^2} \cdot [ \frac{ e^{x^2} }{2} + c \ ] $$
$$ y = e^{ - x^2} \cdot \frac{ e^{x^2} }{2} + e^{ - x^2} \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$ y = \frac{ 1 }{2} + e^{ - x^2} \cdot c $$
Esempio 2
Questa equazione differenziale è lineare omogenea y'+a(x)y=0 perché b(x)=0
$$ y' = x^2 \cdot y $$
Posso risolverla sia con il metodo delle variabili separabili che con il metodo di Lagrange.
In questo caso opto per il metodo di Lagrange.
$$ y = e^{ - \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} \ dx + c \ ] $$
Essendo b(x)=0 la formula si riduce a
$$ y = e^{ - \int a(x) \ dx} \cdot c $$
La funzione a(x)=-x2
$$ y = e^{ - \int -x^2 \ dx} \cdot c $$
$$ y = e^{ \int x^2 \ dx} \cdot c $$
L'integrale ∫x2 dx = x3/3+c
$$ y = e^{ \frac{x^3}{3}} \cdot c $$
Quindi, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c \cdot e^{ \frac{x^3}{3}} $$
Nota. Questa equazione è risolvibile anche con il metodo delle variabili separabili. Il risultato è lo stesso. $$ y' = x^2 \cdot y $$ $$ \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot y $$ Separo le variabili $$ \frac{dy}{y} = x^2 \cdot dx $$ $$ \int \frac{dy}{y} = \int x^2 \ dx $$ Integro per le rispettive variabili $$ \log y = \frac{x^3}{3} +c $$ $$ e^{\log y} = e^{\frac{x^3}{3} +c} $$ $$ y = e^{\frac{x^3}{3}} \cdot e^c $$ Essendo ec un valore costante posso indicarlo semplicemente con c. $$ y = c \cdot e^{\frac{x^3}{3}} $$ E' lo stesso risultato.
La dimostrazione
Considero un'equazione differenziale lineare
$$ y' + a(x) \cdot y = b(x) $$
Trovo una funzione primitiva A(x) di a(x) ossia una funzione tale che A'(x)=a(x)
Poi moltiplico entrambi i membri dell'equazione per eA(x)
$$ e^{A(x)} \cdot ( y' + a(x) \cdot y = e^{A(x)} \cdot b(x) $$
$$ e^{A(x)} \cdot y' + e^{A(x)} \cdot a(x) \cdot y = e^{A(x)} \cdot b(x) $$
Per la proprietà invariantiva quest'ultima equazione è equivalente alla prima.
A questo punto integro entrambi i membri dell'equazione
$$ \int e^{A(x)} \cdot y' + e^{A(x)} \cdot a(x) \cdot y \ dx = \int e^{A(x)} \cdot b(x) \ dx $$
Nel membro di sinistra dell'equazione l'espressione eA(x)y'+eA(x)y la posso considerare come la derivata del prodotto eA(x)·y tra due funzioni
Nota. La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda non derivata con la derivata della seconda funzione per la prima non derivata ossia D[f·g]=f'·g+f·g'. $$ D[e^{A(x)} \cdot y] = D[e^{A(x)}] \cdot y + e^{A(x)} \cdot D[y] = e^{A(x)} \cdot y + e^{A(x)} \cdot y' $$
Quindi, la funzione primitiva che risolve l'integrale a sinistra è F(x)=y*e^A(x)
$$ y \cdot e^{A(x)} + c = \int e^{A(x)} \cdot b(x) \ dx $$
Esplicito la y in funzione di tutto il resto.
Sposto il termine della costante c a destra.
$$ y \cdot e^{A(x)} = \int e^{A(x)} \cdot b(x) \ dx + c $$
Essendo c una costante reale che può assumere qualsiasi valore positivo o negativo, gli lascio per comodità il segno + anche nel membro di sinistra.
$$ y = \frac{1}{e^{A(x)}} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{A(x)} \ dx + c ] $$
$$ y = e^{-A(x)} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{A(x)} \ dx + c ] $$
Poiché A'(x)=a(x) allora A(x)=∫a(x)
$$ y = e^{- \int a(x) \ dx} \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) \ dx} \ dx + c ] $$
Ho ottenuto la formula che volevo dimostrare.
Dimostrazione alternativa
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine si presenta in questa forma $$ y' + a_0(x) \cdot y = b(x) $$ Dove y, a0(x) e b(x) sono due funzioni continue nell'intervallo [a,b]
Distinguo il caso in l'equazione è omogenea oppure no.
A] Equazione differenziale lineare del 1° ordine omogenea
Se l'equazione differenziale lineare del 1° ordine è omogenea
$$ y' + a_0(x) \cdot y = 0 $$
Per prima cosa dimostro che una soluzione dell'equazione differenziale è la seguente
$$ y_0(x) = e^{-A_0(x)} $$
Dove A0(x) è una primitiva della funzione a0(x) mentre c è una costante qualsiasi.
Calcolo la derivata prima in entrambi i membri della soluzione rispetto alla variabile indipendente x
$$ D[y_0(x)] = D[e^{-A_0(x)}] $$
$$ y'_0(x) = -A'_0(x) \cdot e^{-A_0(x)} $$
Sostituisco y'0(x) nell'equazione differenziale omogenea
$$ y' + a_0(x) \cdot y = 0 $$
$$ y_0' + a_0(x) \cdot y_0 = 0 $$
$$ (-A'_0(x) \cdot e^{-A_0(x)}) + a_0(x) \cdot y_0 = 0 $$
Sapendo che y0=e-A0(x) per l'ipotesi iniziale
$$ (-A'_0(x) \cdot e^{-A_0(x)}) + a_0(x) \cdot e^{-A_0(x)} = 0 $$
$$ e^{-A_0(x)} \cdot [ (-A'_0(x) + a_0(x) ] = 0 $$
$$ e^{-A_0(x)} \cdot [ a_0(x) -A'_0(x) ] = 0 $$
Sapendo che A0(x) è una primitiva di a0(x) allora A'0(x)=a0(x)
$$ e^{-A_0(x)} \cdot [ a_0(x) - a_0(x) ] = 0 $$
$$ e^{-A_0(x)} \cdot 0 = 0 $$
L'equazione è soddisfatta per ogni x dell'intervallo [a,b].
Pertanto, y0=e-A0(x) è una soluzione dell'equazione differenziale y+a0(x)y=0 come volevo dimostrare.
Ora devo dimostrare che anche y0=c·e-A0(x) è una soluzione dell'equazione differenziale per qualsiasi valore della costante c.
$$ y_0(x) = c \cdot e^{-A_0(x)} $$
Se u(x) sia una soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea nell'intervallo [a,b].
$$ u(x) = c(x) e^{-A_0(x)} $$
devo dimostrare che la funzione c(x)=c è una costante
Esplicito la funzione c(x)
$$ c(x) = \frac{ u(x) }{ e^{-A_0(x) } } $$
$$ c(x) = u(x) \cdot e^{A_0(x) } $$
Essendo u(x) una soluzione dell'equazione differenziale allora è derivabile.
Di conseguenza anche la funzione c(x)=u(x)·eA0(x) è derivabile rispetto alla variabile x.
$$ D[c(x)] = D[ u(x) \cdot e^{A_0(x) } ] $$
Applico al secondo membro la regola della derivata di un prodotto
$$ c'(x) = D[ u(x) ] \cdot e^{A_0(x) } + u(x) \cdot D[ e^{A_0(x) } ] $$
$$ c'(x) = u'(x) \cdot e^{A_0(x) } + u(x) \cdot e^{A_0(x) } \cdot A'_0(x) $$
Metto in evidenza eA0(x)
$$ c'(x) = e^{A_0(x) } \cdot [ u'(x) + u(x) \cdot A'_0(x) ] $$
Sapendo che A0(x) è una primitiva di a0(x) allora A'0(x)=a0(x)
$$ c'(x) = e^{A_0(x) } \cdot [ u'(x) + u(x) \cdot a_0(x) ] $$
Sapendo che u(x) è una soluzione dell'equazione differenziale lineare omogenea y'+a0(x)·y=0 allora ponendo y=u(x) ottengo u'(x)+a0(x)·u(x)=0
$$ c'(x) = e^{A_0(x) } \cdot [ \underbrace{ u'(x) + u(x) \cdot a_0(x) }_0 ] $$
$$ c'(x) = e^{A_0(x) } \cdot 0 $$
$$ c'(x) = 0 $$
Se la derivata della funzione c'(x)=0 è nulla, allora la funzione c(x) è una costante.
$$ c(x) = c $$
Ho così dimostrato che la soluzione dell'equazione differenziale è una famiglia di funzioni al variare di c
$$ u(x) = c \cdot e^{-A_0(x)} $$
B] Equazione differenziale lineare del 1° ordine non omogenea
Se l'equazione differenziale lineare del 1° ordine è non omogenea
$$ y' + a_0(x) \cdot y = b(x) $$
devo dimostrare che la soluzione dell'equazione è una famiglia di funzioni y(x) al variare della costante c
$$ y(x) = c \cdot y_0(x) + e^{-A_0(x)} \cdot B(x) $$
Dove y0=e-A0(x) è la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata y'+a0(x)y=0 e A(x) è una primitiva della funzione a(x) e B(x) è una primitiva della funzione eA0(x)b(x)
$$ y(x) = c \cdot e^{-A_0(x)} + e^{-A_0(x)} \cdot B(x) $$
La soluzione di un'equazione differenziale lineare è la soluzione dell'omogenea associata y0 a cui va aggiunta una soluzione particolare dell'equazione differenziale
$$ y(x) = \underbrace{ c \cdot e^{-A_0(x)} }_{y_0} + \underbrace{ e^{-A_0(x)} \cdot B(x) }_{y_p} $$
Resta da dimostrare che e-A0(x)B(x) è una soluzione particolare yp dell'equazione differenziale lineare non omogenea
$$ y_p(x) = e^{-A_0(x)} \cdot B(x) $$
Derivo entrambi i membri dell'equazione precedente rispetto a x
$$ D[y_p(x)] = D[e^{-A_0(x)} \cdot B(x)] $$
$$ y'_p(x) = D[e^{-A_0(x)}] \cdot B(x) + e^{-A_0(x)} \cdot D[B(x)] $$
$$ y'_p(x) = e^{-A_0(x)} \cdot (-A'_0(x)) \cdot B(x) + e^{-A_0(x)} \cdot B'(x) $$
Sapendo che A0(x) è una primitiva di a0(x) allora A0'(x)=a0(x)
$$ y'_p(x) = e^{-A_0(x)} \cdot (-a_0(x)) \cdot B(x) + e^{-A_0(x)} \cdot B'(x) $$
Sapendo che B(x) è una primitiva di eA0(x)b(x) allora B'(x)=eA0(x)b(x)
$$ y'_p(x) = e^{-A_0(x)} \cdot (-a_0(x)) \cdot B(x) + e^{-A_0(x)} \cdot e^{A_0(x)}b(x) $$
$$ y'_p(x) = -a_0(x) \cdot e^{-A_0(x)} \cdot B(x) + b(x) $$
Sapendo che yp=e-A0(x)·B(x)
$$ y'_p(x) = -a_0(x) \cdot y_p(x) + b(x) $$
$$ y'_p(x) + a_0(x) \cdot y_p(x) = b(x) $$
Pertanto e-A0(x)·B(x) è una soluzione particolare dell'equazione differenziale y'+a0(x)y=b(x)
E così via.
