Le equazioni differenziali del primo ordine

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione differenziale composta dall'incognita x, dalla funzione incognita y=f(x) e dalla derivata prima y'=f'(x). $$F(x,y,y')=0$$ dove in forma normale posso scrivere $$y'=G(x,y)$$

L'incognita è la funzione y=f(x)

Quando mi trovo davanti a queste equazioni, devo trovare una funzione f(x) che eguagli la derivata prima f'(x).

Un esempio pratico

Ho la seguente equazione differenziale del 1° ordine

$$F(x,y, y')=0$$

Dove conosco la derivata prima y'

$$y'-2x=1$$

La riscrivo in forma normale

$$y' = 1+2x$$

Devo cercare una funzione y=f(x) con una primitiva F(y)=1+2x.

Per trovarla calcolo l'integrale indefinito di 1+2x

$$F(y)=\int{1+2x \:dx}$$

Il risultato dell'integrale è

$$F(y)=\int{1 \:dx} + \int{2x \:dx}$$

$$F(y)= x+x^2+c$$

La soluzione è la famiglia di funzioni f(x)=x²+x+c

Per semplicità elimino la costante c.

$$f(x)=x^2+x$$

Ho così ottenuto la soluzione generale dell'equazione differenziale del primo ordine.

Nota. Quando specifico un valore della costante c, anziché eliminarla, si parla di soluzione particolare dell'equazione differenziale. Ad esempio $$f(x)=x^2+x+3$$

Le tipologie di equazioni differenziali del primo ordine

Le equazioni differenziali del primo ordine sono suddivise in tre categorie:

• Le equazioni differenziali elementari
  sono le equazioni differenziali più semplici del tipo $$y'=f(x)$$
• Le equazioni differenziali a variabili separate
  sono equazioni differenziali composte da funzioni separabili, del tipo $$y'=f(x)g(x)$$
• Le equazioni differenziali lineari
  sono equazioni differenziali composte da una combinazione lineare di funzioni, del tipo $$y'+a(x)y=b(x)$$

E così via.