Le equazioni differenziali del primo ordine
Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione differenziale composta dall'incognita x, dalla funzione incognita y=f(x) e dalla derivata prima y'=f'(x). $$ F(x,y,y')=0 $$ dove in forma normale posso scrivere $$ y'=G(x,y) $$
L'incognita è la funzione y=f(x)
Quando mi trovo davanti a queste equazioni, devo trovare una funzione f(x) che eguagli la derivata prima f'(x).
Un esempio pratico
Ho la seguente equazione differenziale del 1° ordine
$$ F(x,y, y')=0 $$
Dove conosco la derivata prima y'
$$ y'-2x=1 $$
La riscrivo in forma normale
$$ y' = 1+2x $$
Devo cercare una funzione y=f(x) con una primitiva F(y)=1+2x.
Per trovarla calcolo l'integrale indefinito di 1+2x
$$ F(y)=\int{1+2x \:dx} $$
Il risultato dell'integrale è
$$ F(y)=\int{1 \:dx} + \int{2x \:dx} $$
$$ F(y)= x+x^2+c $$
La soluzione è la famiglia di funzioni f(x)=x2+x+c
Per semplicità elimino la costante c.
$$ f(x)=x^2+x $$
Ho così ottenuto la soluzione generale dell'equazione differenziale del primo ordine.
Nota. Quando specifico un valore della costante c, anziché eliminarla, si parla di soluzione particolare dell'equazione differenziale. Ad esempio $$ f(x)=x^2+x+3 $$
Le tipologie di equazioni differenziali del primo ordine
Le equazioni differenziali del primo ordine sono suddivise in tre categorie:
- Le equazioni differenziali elementari
sono le equazioni differenziali più semplici del tipo $$ y'=f(x) $$ - Le equazioni differenziali a variabili separate
sono equazioni differenziali composte da funzioni separabili, del tipo $$ y'=f(x)g(x) $$ - Le equazioni differenziali lineari
sono equazioni differenziali composte da una combinazione lineare di funzioni, del tipo $$ y'+a(x)y=b(x) $$
E così via.
