Equazioni differenziali omogenee del tipo y'=P/Q
Un caso particolare di equazione differenziale del primo ordine si verifica quando$$ y ' = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)} $$Dove P e Q sono polinomi dello stesso grado ossia polinomi omogenei.
In questi casi, se non posso risolvere l'equazione differenziale con il metodo delle variabili separate o il metodo della variazione delle costanti, devo introdurre nell'equazione una variabile ausiliaria.
$$ t = \frac{y}{x} $$
Poi esplicito la funzione incognita y e la sua derivata prima y' in funzione delle variabili t e x.
$$ y = t \cdot x $$
$$ y' = D_x[t \cdot x] = t'x + t $$
A questo punto sostituisco y e y' nell'equazione differenziale
$$ y ' = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)} $$
$$ t'x + t = \frac{P(x,tx)}{Q(x,tx)} $$
Poi provo a risolverla con il metodo delle variabili separabili rispetto a t e x.
Se la soluzione esiste, una volta trovata la soluzione generale la riconverto nella variabile y
Un esempio pratico
Questa equazione differenziale è un esempio di equazione differenziale omogenea
$$ xyy' = x^2 + y^2 $$
Esplicito la funzione y' dividendo entrambi i membri per xy
$$ \frac{xyy'}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} $$
$$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $$
La variabile y' è in funzione di un rapporto tra due polinomi omogenei di x e y.
Per risolverla assegno il rapporto y/x a una variabile ausiliaria t=y/x
$$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} $$
$$ y' = \frac{1}{t} + t $$
Poi ricavo la funzione y' dalla variabile ausiliaria t=y/x
$$ y = t \cdot x $$
E derivo i membri dell'equazione rispetto a x
$$ D_x[y] = D_x[t \cdot x] $$
$$ y' = t'x+t $$
Quindi sostituisco y'=t'x+t nell'equazione differenziale
$$ y' = \frac{1}{t} + t $$
$$ t'x+t = \frac{1}{t} + t $$
Semplifico eliminando +t nel membro di destra e di sinistra dell'equazione.
$$ t'x = \frac{1}{t} $$
Riscrivo t' nella notazione dt/dx
$$ \frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{1}{t} $$
Ora l'equazione differenziale si può risolvere con il metodo delle variabili separabili.
Separo le variabili t e x nei due membri dell'equazione.
$$ dt \cdot t = \frac{1}{x} \cdot dx $$
Poi integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int t \cdot dt = \int \frac{1}{x} \cdot dx $$
L'integrale di 1/x si risolve con la primitiva log(x)+c
$$ \int t \cdot dt = \log(x) + c $$
L'integrale di t si risolve con la primitiva t2/2
$$ \frac{t^2}{2} = \log(x) + c $$
$$ t^2 = 2 \cdot \log(x) + c $$
A questo punto sostituisco t=y/x nell'equazione differenziale per tornare alla funzione incognita y
$$ (\frac{y}{x})^2 = 2 \cdot \log(x) + c $$
$$ \frac{y^2}{x^2} = 2 \cdot \log(x) + c $$
$$ y^2 = x^2 \cdot [2 \log(x) + c ] $$
$$ y^2 = 2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2 $$
Calcolo la radice quadrata in entrambi e membri
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2} $$
$$ y = \sqrt{2x^2 \cdot \log(x) + c \cdot x^2} $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.
