Equazioni differenziali del secondo ordine
Un'equazione differenziale del secondo ordine è un'equazione differenziale in cui la derivata di ordine più alto è la derivata seconda della funzione incognita y"=f"(x). $$ F(x,y,y',y'')=0 $$ che in forma normale posso scrivere $$ y''=G(x,y,y') $$
L'incognita dell'equazione differenziale è la funzione y(x).
Per risolvere questo tipo di equazioni differenziali, devo trovare una funzione y=f(x) tale che eguagli la derivata seconda y''.
Ad esempio, ecco un'equazione differenziale del 2° ordine.
$$ y'' = y' + y + x $$
La soluzione generale (o integrale generale) di un'equazione differenziale del secondo ordine è una famiglia di funzioni che dipendono da due costanti arbitrarie c1 e c2.
$$ y = (x,c_1,c_2) $$
Assegnando dei valori ai parametri c1 e c2 ottengo le soluzioni particolari dell'equazione differenziale.
Nota. Le equazioni differenziali del secondo ordine sono dette omogenee se la funzione g(x) = 0 è nulla. $$ y'' + y' + y = g(x)= 0 $$ Ad esempio $$ y'' + 3y'+4y = 0 $$ Sono dette complete se la funzione g(x) è diversa da zero g(x)≠0 in almeno un punto nell'intervallo oggetto di studio. $$ y'' + y' + y = g(x) \ne 0 $$ Ad esempio $$ y'' + 3y'+4y = 3x $$
Un esempio pratico
Ecco un esempio di equazione differenziale di 2° grado
$$ y''= \sin x $$
E' un'equazione differenziale elementare perché per risolverla basta integrare due volte.
Calcolo l'integrale di entrambi i membri per trovare la derivata prima della funzione incognita y'
$$ \int y'' \ dy= \int \sin x \ dx $$
$$ y' = - \cos x + c_1 $$
Poi integro una seconda volta per trovare la funzione incognita y
$$ \int y' \ dy= \int (- \cos x) + c_1 \ dx $$
$$ y = ( - \sin x + c_1 \cdot x ) + c_2 $$
Il risultato è la soluzione generale dell’equazione differenziale
$$ y = - \sin x + c_1 \cdot x + c_2 $$
Nota. A differenza delle equazioni differenziali del primo ordine, la soluzione generale (o integrale generale) dell'equazione differenziale di secondo ordine ha due costanti c1 e c2.
Tipi di equazioni differenziali del secondo ordine
Esistono diverse tipologie di equazioni differenziali del secondo ordine
- Le equazioni differenziali del 2° ordine elementari
Le equazioni di 2° grado più semplici hanno la forma y''=f(x). Si risolvono con una doppia integrazione della funzione y''. $$ y''=f(x) $$ - Le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti
Sono equazioni differenziali lineari con tre coefficienti a, b, c costanti che si presentano nella forma $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ - Le equazioni differenziali lineari non omogenee
Sono equazioni differenziali che si presentano in questa forma con g(x)≠0 in almeno un punto dell'intervallo considerato $$ ay'' + by' + cy = g(x) $$
E così via.
