Equazioni differenziali del secondo ordine senza la funzione y

Le equazioni differenziali del secondo ordine senza la funzione incognita y(x) $$y'' + xy' = f(x)$$ posso risolverle introducendo una variabile ausiliaria u=y'.

Un esempio pratico

Ho l'equazione differenziale

$$xy'' + y' = \log x$$

Divido entrambi i membri dell'equazione per x e ottengo l'equazione differenziale in forma normale

$$\frac{ xy'' + y' }{x}= \frac{ \log x }{x}$$

$$y'' + \frac{y'}{x}= \frac{ \log x }{x}$$

Introduco la variabile ausiliaria u=y'

$$y'' + \frac{u}{x}= \frac{ \log x }{x}$$

Se u=y' allora y''=u'

$$u' + \frac{u}{x}= \frac{ \log x }{x}$$

In questo modo ottengo un'equazione differenziale lineare e non omogenea del primo ordine rispetto alla variabile u .

Per risolverla uso il metodo del fattore integrante u'=A(x)·u=b(x) dove A(x)=u\x

$$A(x) = e^{ \int \frac{1}{x} \ dx } = e^{\log x} = x$$

Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per il fattore integrante A(x)=x

$$A(x) \cdot [ u' + \frac{u}{x} ]= A(x) \frac{ \log x }{x}$$

$$x \cdot [ u' + \frac{u}{x} ]= x \frac{ \log x }{x}$$

$$xu' + \frac{xu}{x} = \log x$$

$$xu' + u = \log x$$

Il membro di sinistra è la derivata del prodotto D[x·u]=x·u'+u·1 rispetto a x

$$\frac{d \ (u \cdot x)}{dx} = \log x$$

Integro entrambi i membri rispetto a x

$$\int \frac{d \ (u \cdot x)}{dx} \ dx = \int \log x \ dx$$

L'integrale di sinistra è immediato

$$u \cdot x = \int \log x \ dx +c_1$$

L'integrale nel membro di destra lo risolvo con l'integrazione per parti

$$u \cdot x = x \log x - \int x \cdot D[ \log{x} \ dx +c_1$$

$$u \cdot x = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \ dx +c_1$$

$$u \cdot x = x \log x - \int \ dx +c_1$$

$$u \cdot x = x \log x - x +c_1$$

$$u \cdot x = x ( \log(x) - 1 ) +c_1$$

Poiché la x>0 in quanto è l'argomento del logaritmo, divido entrambi i membri dell'equazione per x

$$\frac{u \cdot x}{x} = \frac{ x ( \log(x) - 1 ) +c_1}{x}$$

$$u = \frac{ x ( \log(x) - 1 )}{x} + \frac{c_1}{x}$$

$$u = \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x}$$

Sapendo che u=y'

$$y' = \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x}$$

Integro entrambi i membri rispetto a x per trovare la funzione incognita

$$\int y' \ dx = \int \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x} \ dx$$

Applico la proprietà della somma di integrali

$$y = \int \log(x) \ dx + \int - 1 \ dx + \int \frac{c_1}{x} \ dx + c_2$$

$$y = \int \log(x) \ dx - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2$$

Sapendo che il l'integrale di ∫log(x)=x(log(x)-1)

$$y = x \cdot ( \log(x) -1 ) - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2$$

$$y = x \log(x) -x - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2$$

L'integrale di ∫1 è x

$$y = x \log(x) -x - x + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2$$

$$y = x \log(x) -2x + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2$$

L'integrale di ∫1/x è log(x)

$$y = x \log(x) -2x + c_1 \log(x) + c_2$$

Questa è la soluzione generale dell'equazione differenziale

E così via.