Equazioni differenziali del secondo ordine senza la funzione y
Le equazioni differenziali del secondo ordine senza la funzione incognita y(x) $$ y'' + xy' = f(x)$$ posso risolverle introducendo una variabile ausiliaria u=y'.
Un esempio pratico
Ho l'equazione differenziale
$$ xy'' + y' = \log x $$
Divido entrambi i membri dell'equazione per x e ottengo l'equazione differenziale in forma normale
$$ \frac{ xy'' + y' }{x}= \frac{ \log x }{x} $$
$$ y'' + \frac{y'}{x}= \frac{ \log x }{x} $$
Introduco la variabile ausiliaria u=y'
$$ y'' + \frac{u}{x}= \frac{ \log x }{x} $$
Se u=y' allora y''=u'
$$ u' + \frac{u}{x}= \frac{ \log x }{x} $$
In questo modo ottengo un'equazione differenziale lineare e non omogenea del primo ordine rispetto alla variabile u .
Per risolverla uso il metodo del fattore integrante u'=A(x)·u=b(x) dove A(x)=u\x
$$ A(x) = e^{ \int \frac{1}{x} \ dx } = e^{\log x} = x$$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per il fattore integrante A(x)=x
$$ A(x) \cdot [ u' + \frac{u}{x} ]= A(x) \frac{ \log x }{x} $$
$$ x \cdot [ u' + \frac{u}{x} ]= x \frac{ \log x }{x} $$
$$ xu' + \frac{xu}{x} = \log x $$
$$ xu' + u = \log x $$
Il membro di sinistra è la derivata del prodotto D[x·u]=x·u'+u·1 rispetto a x
$$ \frac{d \ (u \cdot x)}{dx} = \log x $$
Integro entrambi i membri rispetto a x
$$ \int \frac{d \ (u \cdot x)}{dx} \ dx = \int \log x \ dx $$
L'integrale di sinistra è immediato
$$ u \cdot x = \int \log x \ dx +c_1 $$
L'integrale nel membro di destra lo risolvo con l'integrazione per parti
$$ u \cdot x = x \log x - \int x \cdot D[ \log{x} \ dx +c_1 $$
$$ u \cdot x = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \ dx +c_1 $$
$$ u \cdot x = x \log x - \int \ dx +c_1 $$
$$ u \cdot x = x \log x - x +c_1 $$
$$ u \cdot x = x ( \log(x) - 1 ) +c_1 $$
Poiché la x>0 in quanto è l'argomento del logaritmo, divido entrambi i membri dell'equazione per x
$$ \frac{u \cdot x}{x} = \frac{ x ( \log(x) - 1 ) +c_1}{x} $$
$$ u = \frac{ x ( \log(x) - 1 )}{x} + \frac{c_1}{x} $$
$$ u = \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x} $$
Sapendo che u=y'
$$ y' = \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x} $$
Integro entrambi i membri rispetto a x per trovare la funzione incognita
$$ \int y' \ dx = \int \log(x) - 1 + \frac{c_1}{x} \ dx $$
Applico la proprietà della somma di integrali
$$ y = \int \log(x) \ dx + \int - 1 \ dx + \int \frac{c_1}{x} \ dx + c_2 $$
$$ y = \int \log(x) \ dx - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2 $$
Sapendo che il l'integrale di ∫log(x)=x(log(x)-1)
$$ y = x \cdot ( \log(x) -1 ) - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2 $$
$$ y = x \log(x) -x - \int 1 \ dx + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2 $$
L'integrale di ∫1 è x
$$ y = x \log(x) -x - x + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2 $$
$$ y = x \log(x) -2x + c_1 \int \frac{1}{x} \ dx + c_2 $$
L'integrale di ∫1/x è log(x)
$$ y = x \log(x) -2x + c_1 \log(x) + c_2 $$
Questa è la soluzione generale dell'equazione differenziale
E così via.
