Metodo del fattore integrante
Il metodo del fattore integrante (o fattore di integrazione) è usato per risolvere un'equazione differenziale ordinaria del tipo $$ y' + A(x) \cdot y = B(x) $$ moltiplicando entrambi i membri dell'equazione tramite il fattore integrante M(x) $$ M(x) = e^{ \int A(x) \ dx } $$
In genere il metodo del prodotto consente di trasformare un membro dell'equazione in una derivata, tramite le regole di derivazione del prodotto o del quoziente invertite.
$$ f'g+fg' = (f \cdot g)' $$
$$ \frac{f'g-fg'}{g^2} = ( \frac{f}{g} )' $$
Una successiva integrazione rispetto alla variabile x mi permette di ottenere la soluzione dell'equazione differenziale.
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' - \frac{2y}{x} = 0 $$
E' un'equazione differenziale omogenea del primo ordine che rientra nella tipologia y'-A(x)y=B(x) con A(x)=-2/x e B(x)=0
Il fattore integrante dell'equazione è
$$ M(x) = e^{ \int A(x) \ dx } $$
$$ M(x) = e^{ \int - \frac{2}{x} \ dx } $$
$$ M(x) = e^{ -2 \int \frac{1}{x} \ dx } $$
L'integrale di 1/x è log x
$$ M(x) = e^{ -2 \log x } $$
L'esponenziale e il logaritmo naturale si semplificano
$$ M(x) = x^{-2} $$
$$ M(x) = \frac{1}{x^2} $$
Una volta ottenuto il fattore integrante moltiplico per entrambi i membri dell'equazione per M(x)
$$ [ y' - \frac{2y}{x} ] \cdot M(x) = 0 \cdot M(x) $$
$$ [ y' - \frac{2y}{x} ] \cdot \frac{1}{x^2} = 0 \cdot \frac{1}{x^2} $$
$$ \frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0 $$
$$ \frac{y'x^3-2yx^2}{x^5} = 0 $$
$$ \frac{x \cdot (y'x^2-2yx)}{x^5} = 0 $$
$$ \frac{y'x^2-2yx}{x^4} = 0 $$
Quest'ultima espressione è il risultato della regola di derivazione del quoziente (f/g)' dove f=y e g=x2
Applico la regola del quoziente invertita e ottengo
$$ ( \frac{y}{x^2} )' = 0 $$
Integro entrambi i membri dell'equazione
$$ \int ( \frac{y}{x^2} )' \ dx = \int 0 \ dx $$
$$ \frac{y}{x^2} = c $$
E infine ricavo la funzione incognita y
$$ y = c \cdot x^2 $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.
