Equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine
Un’equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti si presenta in questa forma $$ ay’’ + by’ +cy = r(x) $$ Dove a,b,c sono coefficienti reali costanti.
In questa forma l’equazione differenziale è detta completa.
Per risolvere questo tipo di equazione differenziale posso usare il metodo della variazione delle costanti.
- Trovo la soluzione generale yA=c1y1+c2y2 dell’equazione differenziale omogenea associata $$ ay’’ + by’ + cy = 0 $$
- Trovo una soluzione particolare yP=c1(x)y1+c2(x)y2 dell'equazione differenziale non omogenea risolvendo il sequente sistema $$ \begin{cases} c'_1(x) y_1 + c'_2(x) y_2 = 0 \\ \\ c'_1(x) y'_1 + c'_2(x) y'_2 = r(x) \end{cases} $$
Nota. Esistono anche altre tecniche per trovare un integrale particolare dell'equazione differenziale. Ad esempio, il metodo della somiglianza.
- La soluzione generale dell'equazione differenziale è la somma delle soluzioni yA e yP $$ y = y_A + y_P $$
Un esempio pratico
Considero questa equazione differenziale completa del 2° ordine
$$ y'' -2y' + y = \frac{e^x}{x^4} $$
L'equazione differenziale omogenea associata è
$$ y'' -2y' + y = 0 $$
Risolvo l'equazione caratteristica di quest'ultima usando una variabile ausiliaria t e i coefficienti a=1, b=-2, c=1
$$ at^2 + bt + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 + (-2) \cdot t +1= 0 $$
$$ t^2 -2t +1= 0 $$
L'equazione di 2° ha le seguenti soluzioni
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(1)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} $$
$$ t = \begin{cases} t_1 = \frac{2+0}{2} = 1 \\ \\ t_2 = \frac{2-0}{2} = 1 \end{cases} $$
L'equazione ha due soluzioni coincidenti t1=t2
Quindi, la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata è
$$ y_A = c_1 e^x + c_2 x e^x $$
A questo punto, di questa devo trovare una soluzione particolare
$$ y_P = c_1(x) e^x + c_2(x) x e^x $$
In questo caso c1(x) e c2(x) non sono più costanti ma variabili in funzione di x. Per questa ragione il metodo si chiama variazione delle costanti.
Per trovare i valori di c1(x) e c2(x) devo risolvere il sistema
$$ \begin{cases} c'_1(x) e^x + c'_2(x) x e^x = 0 \\ \\ c'_1(x) D[e^x] + c'_2(x) D[xe^x] = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Attenzione. Nel sistema non ci sono i coefficienti c1(x) e c2(x) bensì le derivate prime dei coefficienti c'1(x) e c'2(x).
Calcolo le derivate
$$ \begin{cases} c'_1(x) e^x + c'_2(x) x e^x = 0 \\ \\ c'_1(x) e^x + c'_2(x) \cdot ( xe^x + e^x ) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Procedo con il metodo per sostituzione ricavando c'1(x) nella prima equazione
$$ \begin{cases} c'_1(x) = \frac{-c'_2(x) x e^x}{e^x} \\ \\ c'_1(x) e^x + c'_2(x) \cdot ( xe^x + e^x ) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) \cdot x \\ \\ c'_1(x) e^x + c'_2(x) \cdot ( xe^x + e^x ) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
Poi sostituisco c'1(x)=-c'2(x)·x nella seconda equazione
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) \cdot x \\ \\ (-c'_2(x) x)e^x + c'_2(x) \cdot ( xe^x + e^x ) = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) x \\ \\ -c'_2(x) x e^x + c'_2(x)x e^x + c'_2(x) e^x = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) x \\ \\ c'_2(x) e^x = \frac{e^x}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) x \\ \\ c'_2(x) = \frac{e^x}{x^4e^x} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -c'_2(x) x \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
Infine sostituisco c'2(x)=1/x4 nella prima equazione
$$ \begin{cases} c'_1(x) = -( \frac{1}{x^4}) x \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c'_1(x) = - \frac{1}{x^3} \\ \\ c'_2(x) = \frac{1}{x^4} \end{cases} $$
Ho trovato c'1(x) e c'2(x)
Essendo derivate prime, per trovare c1(x) e c2(x) devo calcolare le rispettive primitive
$$ \begin{cases} c_1(x) = \int - \frac{1}{x^3} \ dx \\ \\ c_2(x) = \int \frac{1}{x^4} \ dx \end{cases} $$
$$ \begin{cases} c_1(x) = \frac{x^{-2}}{2} \\ \\ c_2(x) = \frac{x^{-3}}{-3} \end{cases} $$
Una volta noti i coefficienti c1(x) e c2(x) li sostituisco nella soluzione particolare
$$ y_P = c_1 e^x + c_2(x) x e^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{2} e^x + \frac{x^{-3}}{-3} x e^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{2} e^x - \frac{x^{-3}}{3} xe^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{2} e^x - \frac{x^{-2}}{3} e^x $$
$$ y_P = ( \frac{x^{-2}}{2} - \frac{x^{-2}}{3} ) \cdot e^x $$
$$ y_P = ( \frac{3x^{-2} - 2x^{-2}}{6} ) \cdot e^x $$
$$ y_P = \frac{x^{-2}}{6} e^x $$
$$ y_P = \frac{e^x}{6x^2} $$
Infine, per trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale sommo la soluzione particolare con la soluzione dell'omogenea
$$ y = y_A + y_P $$
$$ y = [ c_1 e^x + c_2 x e^x ] + y_P $$
$$ y = c_1 e^x + c_2 x e^x + \frac{e^x}{6x^2} $$
E così via.
