Equazioni differenziali a variabili separabili
In un'equazione differenziale a variabili separabili (o variabili separate) la derivata prima y' della funzione incognita è uguale al prodotto di una funzione f(x) nella variabile x e di un'altra funzione g(y) nella variabile y. $$ y' = f(x) \cdot g(y) $$
Per risolvere questo tipo di equazioni differenziali
- Separo le variabili y e x supponendo y≠0. Ad esempio, separo la y nel membro di sinistra dell'equazione e la x nel membro di destra. Da questo deriva il nome del metodo "a variabili separabili". $$ y' = f(x) \cdot g(y) $$ $$ \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y) $$ $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) \cdot dx $$
- Integro ciascun membro rispetto alla rispettiva variabile per trovare le primitive.
$$ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \ dx $$
Questo mi permette di ottenere la funzione incognita y(x) per y≠0.
Le eventuali soluzioni per y=0 dette soluzioni costanti vanno studiate a parte.
Cosa sono le soluzioni costanti? Le soluzioni costanti (o soluzioni nulle) dell'equazione differenziale sono i casi in cui y=0. Se y=0 allora anche la sua derivata deve essere nulla y'=0. Sapendo che y'=f(x)g(y), allora se y'=0 l'equazione diventa f(x)g(y)=0. Quindi per trovare le soluzioni costanti devo verificare se esistono delle situazioni in cui g(y)=0. Non è detto che le soluzioni costanti esistano sempre, ma se esistono vanno aggiunte alle soluzioni dell'equazione differenziale.
Alcuni esempi pratici
Esempio 1
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' = 2xy^2 $$
Quest'equazione rientra nel caso delle equazioni differenziali a variabili separabili perché f(x)=2x e g(y)=y2
Riscrivo la derivata prima y' nella notazione di Leibniz dy/dx.
$$ \frac{dy}{dx} = 2x y^2 $$
Poi separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
$$ \frac{dy}{y^2} = 2x \cdot dx $$
Integro entrambi i membri per la rispettiva variabile.
A sinistra calcolo l'integrale rispetto alla variabile y mentre a destra rispetto alla variabile x.
$$ \int \frac{dy}{y^2} = \int 2x \ dx $$
$$ \int \frac{1}{y^2} dy= \int 2x dx $$
A questo punto cerco le primitive dei due integrali.
L'integrale di 1/y2 è la funzione -1/y
$$ -\frac{1}{y} + c = \int 2x dx $$
L'integrale di 2x è la funzione x^2
$$ -\frac{1}{y} + c = x^2+c $$
La costante c posso indicarla una sola volta con il segno positivo.
Essendo una costante che può assumere qualsiasi valore reale è inutile indicarla due volte.
$$ -\frac{1}{y} = x^2+c $$
A questo punto esplicito la funzione incognita y
$$ y = -\frac{1}{x^2} +c $$
Ho così trovato la soluzione dell'equazione differenziale.
$$ y(x) = -\frac{1}{x^2} +c $$
A questa soluzione devo aggiungere anche il caso y(x)=0.
$$ y(x)=0 $$
Nota. La soluzione costante (o nulla) devo considerarla perché la g(x)=y2 si annulla per y=0. $$ y' = 2xy^2 $$ Se g(y)=0 esiste allora il prodotto f(x)·g(y)=0 è uguale a zero. Di conseguenza anche la derivata prima è nulla y'=0 e l'equazione differenziale è soddisfatta. $$ y' = 2xy^2 $$ $$ 0 = 2x(0)^2 $$ $$ 0 = 0 $$
Pertanto, l'equazione differenziale ha le seguenti soluzioni
$$ y(x) = -\frac{1}{x^2} +c \ ∨ \ y(x) =0 $$
Esempio 2
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' = \frac{ \cos x}{\cos y} $$
E' un'equazione risolvibile con il metodo a variabili separate considerando
$$ f(x) = \cos x $$
$$ g(y) = \frac{1}{\cos y} $$
Riscrivo la derivata y' nella notazione dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{ \cos x}{\cos y} $$
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
$$ \cos(y) dy = \cos(x) dx $$
Integro entrambi i membri per le rispettive variabili di integrazione
$$ \int \cos(y) dy = \int \cos(x) dx $$
Sapendo che la primitiva di ∫cos(y)dy = sin(y) + c
$$ \sin(y) + c = \int \cos(x) dx $$
Sapendo che la primitiva di ∫cos(x)dx = sin(x) + c
$$ \sin(y) + c = \sin(x) + c $$
Considero una sola costante c
$$ \sin(y) = \sin(x) + c $$
Per ricavare la y devo calcolare l'arcoseno, ossia la funzione inversa del seno, in entrambi i membri dell'equazione
$$ \arcsin[ \sin(y) ] = \arcsin[ \sin(x) + c ] $$
Sapendo che arcsin(sin y)=y
$$ y = \arcsin[ \sin(x) + c ] $$
Ho trovato la funzione incognita y
Pertanto, la soluzione dell'equazione differenziale è
$$ y(x) = \arcsin[ \sin(x) + c ] $$
Nota. In questo caso la soluzione costante g(y)=0 non devo aggiungerla perché non esiste nessun valore y tale che la funzione g(y)=1/cos(y) sia nulla. Per qualsiasi valore della y la funzione g(y) è diversa da zero g(y)≠0 $$ y' = \frac{ \cos x}{\cos y} $$
Esempio 3
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
E' un'equazione che posso risolvere con il metodo delle variabili separate
Riscrivo y=dy/dx e separo le variabili tra i due membri.
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{3y^2} $$
$$ 3y^2 \ dy =(x+1) dx $$
Poi integro per le rispettive variabili
$$ \int 3y^2 \ dy = \int (x+1) dx $$
L'integrale ∫3y2dy è la funzione y3+c
$$ y^3 + c = \int (x+1) dx $$
L'integrale ∫x+1 è la funzione x2/2+x+c
$$ y^3 + c = \frac{x^2}{2}+x+c $$
Scrivo una sola volta la costante c
$$ y^3 = \frac{x^2}{2}+x+c $$
Per ricavare la funzione incognita y calcolo la radice cubica in entrambi i membri dell'equazione differenziale
$$ \sqrt[3]{ y^3 } = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x+c }$$
$$ y = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x+c }$$
Ho trovato la soluzione dell'equazione differenziale.
Nota. Anche in questo caso la soluzione costante g(y)=0 non va considerata perché non esiste alcun valore della variabile y tale che la funzione g(y)=1/3y2 sia uguale a zero. Per qualsiasi valore della y la funzione g(y) è diversa da zero g(y)≠0 $$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
Esempio 4
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y' = \sin(x) \cdot e^y $$
E' risolvibile con il metodo delle variabili separabili considerando f(x)=sin x e g(x)=ey
La riscrivo usando la notazione y'=dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = \sin(x) \cdot e^y $$
Poi separo le variabili
$$ \frac{dy}{e^y} = \sin(x) \ dx $$
$$ e^{-y} \ dy = \sin(x) \ dx $$
Integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili
$$ \int e^{-y} \ dy = \int \sin(x) \ dx $$
La primitiva che risolve l'integrale ∫e-y dy è la funzione -e-y+c
$$ -e^{-y} +c = \int \sin(x) \ dx $$
La primitiva che risolve l'integrale ∫sin(x)dx è la funzione -cos(x)
$$ -e^{-y} +c = -cos(x) + c $$
Considero una sola volta la costante c
$$ -e^{-y} = -cos(x) + c $$
Entrambi i membri hanno il segno negativo.
Per semplicità moltiplico entrambi i membri per -1
$$ (-1) \cdot -e^{-y} = (-1) \cdot [ -cos(x) + c ] $$
$$ e^{-y} = cos(x) - c $$
Per semplicità la costante c posso scriverla anche con il segno +. E' la stessa cosa.
Essendo una costante reale può assumere qualsiasi valore.
$$ e^{-y} = cos(x) + c $$
A questo punto per esplicitare la funzione incognita y calcolo il logaritmo naturale in entrambi i membri
$$ \log e^{-y} = \log[ cos(x) + c ] $$
$$ -y = \log[ cos(x) + c ] $$
$$ y = - \log[ cos(x) + c ] $$
Ho trovato la funzione incognita y dell'equazione differenziale
$$ y(x) = - \log[ cos(x) + c ] $$
Nota. In questo caso la soluzione nulla g(y)=0 non devo considerarla perché non esiste nessun valore y tale che g(y)=ey sia nullo. Per qualsiasi valore della y l'esponenziale è diverso da zero ey>0 $$ y' = \sin(x) \cdot e^y $$
Osservazioni
Alcune osservazioni sulle equazioni differenziali a variabili separabili
- Le equazioni differenziali a variabili separabili sono equazioni del 1° ordine in forma normale
- Le equazioni differenziali autonome del 1° ordine sono equazioni differenziali a variabili separabili $$ u' = g(u) $$ perché è come se ci fosse f(t)=1 $$ u' = f(t) \cdot g(u) $$ $$ u' = 1 \cdot g(u) $$
E così via.
