Esercizio equazione differenziale 19
Devo risolvere questa equazione differenziale
$$ y'' + 4y'+13y = \sin 3x $$
E' un'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea (completa).
Si risolve sommando la soluzione generale dell'equazione omogenea (yo) con una soluzione particolare dell'equazione completa (yp).
Pertanto la soluzione generale dell'equazione completa è
$$ y = y_o + y_p $$
Per svolgere questo esercizio calcolo prima la soluzione omogenea, poi la soluzione particolare e infine le sommo tra loro.
La soluzione dell'equazione differenziale omogenea
L'equazione differenziale omogenea associata si ottiene eliminando il termine noto.
$$ y'' + 4y'+13y = 0 $$
Scrivo l'equazione caratteristica dell'omogenea usando la variabile ausiliaria t
$$ t^2 + 4t +13 = 0 $$
Calcolo le radici dell'equazione caratteristica
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{16-52}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{36i^2}}{2} $$
Nota. La radice quadrata di un numero negativo si può calcolare tramite i numeri complessi. Il radicando -36 equivale a (-1)*36. Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è i2=-1 posso scrivere il radicando in questa forma equivalente i2·36 che mi permette di calcolare la radice quadrata.
$$ t = \frac{-4 \pm i \sqrt{36}}{2} $$
$$ t = \frac{-4 \pm i \cdot 6}{2} $$
$$ t = -2 \pm i \cdot 3 $$
$$ t = \begin{cases} t_1 = -2-i3 \\ \\ t_2 = -2+i3 \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse t1 e t2 del tipo α±iβ con la parte reale α=-2 e il coefficiente della parte immaginaria β=3.
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale omogenea del 2° ordine è
$$ y_o = e^{\alpha x} \cdot [ c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x) ] $$
Sapendo che α=-2 e β=3.
$$ y_o = e^{-2x} \cdot [ c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x) ] $$
Quest'ultima è la soluzione generale dell'omogenea.
La soluzione particolare dell'equazione differenziale completa
A questo punto devo cercare una soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea
$$ y'' + 4y'+13y = \sin 3x $$
Per farlo utilizzo il metodo della somiglianza perché il termine noto sin(3x) è una forma elementare.
Secondo il metodo della somiglianza, se il termine noto è la funzione seno la soluzione particolare yp dell'equazione differenziale ha la seguente forma
$$ y_p = A \sin(3x)+B \cos(3x) $$
Si tratta di una forma simile al termine noto ma il lavoro non è finito perché i coefficienti A e B sono ancora da calcolare.
Calcolo la derivata prima e la derivata seconda della soluzione particolare.
$$ y'_p = D_x[ A \sin(3x)+B \cos(3x) ] = 3A \cos(3x) - 3B \sin(3x) $$
$$ y''_p = D_x[ 3A \cos(3x) - 3B \sin(3x) ] = -9A \sin(3x) - 9B \cos(3x) $$
Sostituisco yp, y'p e y''p nell'equazione differenziale completa al posto delle funzioni y, y', y''
$$ y'' + 4y'+13y = \sin (3x) $$
$$ y''_p + 4y'_p +13y_p = \sin (3x) $$
Sapendo y''p=-9A·sin(3x)-9B·cos(3x)
$$ [ -9A \sin(3x) - 9B \cos(3x) ] + 4y'_p +13y_p = \sin (3x) $$
Sapendo y'p=3A·cos(3x)-3B·sin(3x)
$$ [ -9A \sin(3x) - 9B \cos(3x) ] + 4 \cdot [ 3A \cos(3x) - 3B \sin(3x) ] +13y_p = \sin (3x) $$
Sapendo yp=A·sin(3x)+B·cos(3x)
$$ [ -9A \sin(3x) - 9B \cos(3x) ] + 4 \cdot [ 3A \cos(3x) - 3B \sin(3x) ] +13 \cdot [ A \sin(3x)+B \cos(3x) ] = \sin (3x) $$
Metto in evidenza sin(3x) e cos(3x).
$$ \sin(3x) \cdot [ -9A - 12 B + 13 A ] + \cos(3x) \cdot [ -9B+12A+13B ] = \sin (3x) $$
$$ \sin(3x) \cdot [ 4A - 12 B ] + \cos(3x) \cdot [ 4B+12A ] = \sin (3x) $$
Scrivo un sistema dove eguaglio i coefficienti di sin(3x) e cos(3x) nei due membri delle equazioni
$$ \begin{cases} 4A-12B = 1 \\ \\ 4B+12A=0 \end{cases} $$
Spiegazione. Nel membro di sinistra dell'equazione sin(3x)·[4A-12B]+cos(3x)·[4B-12A]=0 il coefficiente della funzione sin(3x) è 4A-12B mentre nel membro di destra dell'equazione il coefficiente di sin(3x) è 1. Per questa ragione la prima equazione del sistema è 4A-12B=1. Nel membro di sinistra dell'equazione sin(3x)·[4A-12B]+cos(3x)·[4B+12A]=0 il coefficiente della funzione cos(x) è 4B+12A mentre nel membro di destra dell'equazione il coefficiente è 0 perché non c'è il coseno cos(x) nel termine noto. Per questa ragione la seconda equazione del sistema è 4B+12A=0.
Risolvo il sistema per sostituzione
$$ \begin{cases} 4A-12B = 1 \\ \\ B= -\frac{12A}{4} = - 3A \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 4A-12(-3A) = 1 \\ \\ B= - 3A \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 40A = 1 \\ \\ B= - 3A \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A = \frac{ 1 }{ 40 } \\ \\ B= - 3A \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A = \frac{ 1 }{ 40 } \\ \\ B= - 3 \cdot ( \frac{ 1 }{ 40 } ) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A = \frac{ 1 }{ 40 } \\ \\ B= - \frac{ 3 }{ 40 } \end{cases} $$
Una volta trovati i valori dei coefficienti A=1/40 e B=-3/40 posso sostituirli nella soluzione particolare
$$ y_p = A \sin(3x)+B \cos(3x) $$
$$ y_p = \frac{1}{40} \sin(3x) - \frac{3}{40} \cos(3x) $$
Quest'ultima è la soluzione particolare dell'equazione differenziale completa.
La soluzione generale dell'equazione differenziale
La soluzione generale dell'equazione differenziale completa è uguale alla somma della soluzione omogenea (yo) e della soluzione particolare (yp).
$$ y = y_o + y_p $$
Sapendo che yo = e-2x · [ c1 cos(3x) + c2 \sin(3x) ]
$$ y = e^{-2x} \cdot [ c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x) ] + y_p $$
Sapendo che yp = 1/40 sin(3x) - 3/40 cos(3x)
$$ y = e^{-2x} \cdot [ c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x) ] + \frac{1}{40} \sin(3x) - \frac{3}{40} \cos(3x) $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale completa.
E così via.
