Lo spazio di esiti equiprobabili
Uno spazio di esiti equiprobabili è uno spazio degli esiti S $$ S=\{1 \ , \ 2 \ , \ ... \ , N \ \} $$in cui ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi. $$ P(\{1\}) = P(\{2\}) = ... = P(\{N\}) $$
Per gli assiomi sulla probabilità la somma delle probabilità è pari a 1
$$ P(\{ 1 \}) + P(\{ 2 \}) + ... + P(\{ N \}) = 1 $$
Essendo esiti equiprobabili, la probabilità di ciascuno di realizzarsi è pari al reciproco del numero degli esiti (N)
$$ P(\{ i \}) = \frac{1}{N} $$
Nota. Uno spazio di esiti equiprobabili deve necessariamente essere un insieme finito. Se fosse uno spazio infinito, ogni elemento avrebbe una probabilità di verificarsi tendente a zero.
Se un evento E è formato da più esiti, la probabilità dell'evento è pari al rapporto tra il numero degli eventi NE=|E| e il numero totale degli esiti N.
$$ P(E) = \frac{|E|}{N} $$
Un esempio pratico
Esempio 1
Un dado ha 6 facce.
Quindi, lo spazio degli esiti del lancio di un dado è
$$ S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $$
Il lancio di un dado ha sei esiti possibili.
$$ N=6 $$
La probabilità di ogni esito (i) è pari al reciproco del numero degli esiti
$$ P( \{ i \}) = \frac{1}{N} = \frac{1}{6} $$
Esempio 2
Nel lancio di un dado un evento potrebbe essere l'uscita di un numero pari
$$ E = \{ 2 \ , \ 4 \ , \ 6 \} $$
L'evento E è composto da tre esiti
$$ N_E=|E|=3 $$
Quindi la probabilità dell'evento è uguale al rapporto tra il numero degli esiti dell'evento (NE=3) e il numero totale degli esiti (N=6)
$$ P(E) = \frac{N_E}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 $$
Pertanto, l'evento ha il 50% di probabilità di verificarsi.
La dimostrazione
Prendo in considerazione uno spazio di esiti equiprobabili.
$$ S = \{ 1,2,3,...,N \} $$
Si tratta di un insieme finito composto da N esiti.
Nota. Uno spazio di esiti equiprobabili deve essere un insieme finito. Se fosse infinito N=inf la probabilità di ogni esito 1/N tenderebbe a zero.
Ogni esito ha la stessa probabilità di verificarsi
$$ P(\{1\}) = P(\{2\}) = ... = P(\{N\}) $$
Secondo il secondo assioma della probabilità, la somma delle probabilità di tutti gli esiti è uguale a 1.
$$ P(\{1\}) + P(\{2\}) + ... + P(\{N\}) = 1 $$
Pertanto, la probabilità di verificarsi di un evento qualsiasi è 1/N
$$ P(k) = \frac{1}{N} $$
Secondo il terzo assioma della probabilità, la probabilità di un evento è uguale alla somma delle probabilità degli esiti contenuti nell'evento.
Se l'evento E ha m esiti, allora la probabilità dell'evento è
$$ P(E) = \frac{1}{N} \cdot m = \frac{m}{N} $$
Dove m è la numerosità (cardinalità) dell'insieme E ossia m = |E|.
$$ P(E) = \frac{|E|}{N} $$
E così via.
