Eventi indipendenti

Due eventi sono detti eventi indipendenti se la conoscenza di uno dei due eventi non altera la probabilità dell'altro evento. $$ p(A|B) = p(A) $$

Quando due eventi A e B sono indipendenti, la probabilità non condizionata di un evento p(A) è uguale alla probabilità condizionata P(A|B) di A noto B.

La condizione di indipendenza di due eventi si verifica quando $$ p(A \cap B) = p(A|B) \cdot p(B) = p(A) \cdot p(B) $$

In pratica, se i due eventi sono indipendenti, la probabilità che si verifichino entrambi è uguale alla loro probabilità composta p(A)·p(B)

Se questo non accade i due eventi sono detti eventi dipendenti.

Un esempio pratico

Esempio 1

L'evento A è la l'uscita del numero 6 dal lancio di un dado. La sua probabilità è p(A)=1/6

$$ p(A)= \frac{1}{6} $$

L'evento B è l'uscita della "croce" dal lancio di una moneta (testa o croce). La probabilità p(B) è 1/2

$$ p(B) = \frac{1}{2} $$

La probabilità dell'evento A non è influenzata dal fatto che l'evento B si sia realizzato oppure no.

Quindi, la probabilità condizionata di A noto B è uguale alla probabilità semplice di A.

$$ p(A|B) = p(A) = \frac{1}{6} $$

La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è uguale alla loro probabilità composta

$$ p(A \cap B) = p(A|B) \cdot p(B) = p(A) \cdot p(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} $$

Pertanto i due eventi sono eventi indipendenti.

Esempio 2

L'evento A è una somma uguale a 12 ottenuta dal lancio di due dadi.

Questo si verifica in un solo esito su 36 combinazioni possibili. Quando il numero 6 esce sia sul primo che sul secondo dado.

La sua probabilità è p(A)=1/36

$$ p(A)= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

L'evento B è l'uscita del numero 6 sul primo dado. La sua probabilità è p(B)=1/6

$$ p(B)= \frac{1}{6} $$

Sapendo che l'evento B si è già realizzato, la probabilità condizionata dell'evento A noto B diventa p(A|B)=1/6

$$ p(A|B) = \frac{1}{6} $$

In questo caso la probabilità condizionata dell'evento A noto B non è uguale alla probabilità semplice dell'evento B.

$$ p(A|B) = \frac{1}{6} \ne p(A) = \frac{1}{36} $$

Pertanto, i due eventi sono dipendenti.

In questo caso la condizione di indipendenza non si verifica

$$ p(A \cap B) = p(A|B) \cdot p(B) \ne p(A) \cdot p(B) $$

Nota. Sapere che il primo dado ha mostrato la faccia 6 aumenta da 1/36 a 1/6 la probabilità che, dopo aver lanciato il secondo dado, la somma sia pari a 12. Allo stesso modo sapere il che il primo dado ha mostrato una faccia diversa da 6, riduce da 1/36 a zero la probabilità di ottenere 12 con il lancio del secondo dado. Quindi, gli eventi A e B sono eventi dipendenti.

La dimostrazione

La probabilità condizionata dell'evento A noto B è

$$ p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} $$

$$ p(A \cap B) = p(A|B) \cdot p(B) $$

Se i due eventi sono indipendenti la probabilità condizionata dell'evento A noto B è uguale alla probabilità non condizionata p(A|B)=p(A)

$$ p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) $$

Pertanto, se i due eventi sono indipendenti, la probabilità che si verifichino entrambi è uguale alla probabilità composta dei due eventi.

Il fatto che B si verifichi o meno, non modifica la probabilità dell'evento A.

Le proprietà degli eventi indipendenti

Alcune proprietà utili degli eventi indipendenti

• Nel caso degli eventi indipendenti vale la relazione di simmetria. Se l'evento A è indipendente da B, allora anche l'evento B è indipendente da A.

  Esempio. L'evento A è l'uscita del numero 6 dal lancio di un dado. La sua probabilità è p(A)=1/6. $$ p(A)=\frac{1}{6} $$ L'evento B è l'uscita della "croce" nel lancio di una moneta. La sua probabilità è P(B)=1/2. $$ p(B)=\frac{1}{2} $$ L'evento A è indipendente da B. Sapere che la moneta è "croce" non influisce sulla probabilità del numero 6 nel lancio del dado. $$ p(A|B)=p(A)=\frac{1}{6} $$ D'altra parte anche l'evento B è indipendente da A. Sapere che è uscito il numero 6 dal lancio del dado non modifica la probabilità di avere "croce" nel lancio della moneta. $$ p(B|A)=p(B)=\frac{1}{2} $$

• Se A e B sono eventi indipendenti, allora anche gli eventi A e B^c sono indipendenti. Dove B^c è il complementare dell'evento B. In altre parole se B è l'insieme degli esiti in cui B si verifica, il complementare B^c sono tutti gli altri esiti in cui l'evento B non si verifica. $$ p(A \cap B^c) = p(A)p(B^c) $$ In pratica, la probabilità p(A) non è influenzata dal fatto che B si verifichi oppure no
  

  Dimostrazione. La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi A e B^c è $$ p(A \cap B^c) $$ posso scriverla in modo equivalente in questa forma $$ p(A \cap B^c) = p(A) - p(A \cap B) $$ Poiché A e B sono indipendenti $$ p(A \cap B^c) = p(A)-p(A)·p(B) $$ Metto in evidenza p(A) $$ p(A \cap B^c) = p(A) \cdot [1-p(B)] $$ Dove 1-p(B)=p(B^c) è il complementare di B. $$ p(A \cap B^c) = p(B^c) $$ Quindi, la probabilità dell'evento A non è influenzata dal fatto che B si verifichi oppure no.

• Se l'evento A è indipendente dall'evento B e dall'evento C, non è detto che sia indipendente dal verificarsi di entrambi i due eventi B C.

  Esempio. L'evento A è la somma di due dadi pari a 7. Questo si verifica in sei esiti su trentasei. Quindi la probabilità è p(A)=6/36.
  
  L'evento B è l'uscita del numero 4 sul primo dado. La probabilità è p(B)=1/6. L'evento C è l'uscita del numero 3 sul secondo dado. La probabilità è p(C)=1/6.
  L'evento A è indipendente dall'evento B. $$ p(A|B)\cdot p(B) = p(A) \cdot p(B) $$ $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{36} \cdot \frac{1}{6} $$ $$ \frac{1}{36} = \frac{1}{36} $$ Per la stessa ragione l'evento A è indipendente dall'evento C $$ p(A|C)\cdot p(C) = p(A) \cdot p(C) $$ $$ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{36} \cdot \frac{1}{6} $$ $$ \frac{1}{36} = \frac{1}{36} $$ Tuttavia, l'evento A non è indipendente dal verificarsi di entrambi gli eventi B⋂C perché sapere che gli eventi B e C si sono già verificati, modifica la probabilità condizionale di A noto B e C $$ p(A|B \cup C)=1 $$ Se B e C si sono verificati (il primo dado è 4 e il secondo dado è 3) al 100% si verifica anche l'evento A (la somma dei due dadi è 7).

• Tre eventi A, B, C sono indipendenti tra loro quando sono soddisfatte queste equazioni $$ p(A \cap B \cap C) = p(A) \cdot p(B) \cdot p(C) $$ $$ p(A \cap B) = p(A|B)p(B) = p(A)p(B) $$ $$ p(A \cap C) = p(A|C)p(C) = p(A)p(C) $$ $$ p(B \cap C) = p(B|C)p(C) = p(B)p(C) $$

  Esempio. L'evento A è l'uscita del numero 3 dal lancio del primo dado. La probabilità è p(A)=1/6. L'evento B è l'uscita del numero 4 dal lancio del secondo dado. La probabilità è p(B)=1/6. L'evento C è l'uscita del numero 5 dal lancio del terzo dado. La probabilità è p(C)=1/6.
  
  La probabilità che si verifichino gli eventi A, B, C è uguale alla loro probabilità composta. $$ p(A \cap B \cap C) = p(A) \cdot p(B) \cdot p(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} $$ La probabilità condizionata dell'evento A noto B è uguale alla probabilità semplice p(A) $$ p(A|B)= p(A) = \frac{1}{6} $$ La probabilità condizionata dell'evento A noto C è uguale alla probabilità semplice p(A) $$ p(A|C)= p(C) = \frac{1}{6} $$ La probabilità condizionata dell'evento B noto C è uguale alla probabilità semplice p(B) $$ p(B|C)= p(B) = \frac{1}{6} $$ Tutte le equazioni sono soddisfatte. Quindi, i tre eventi sono indipendenti.

• Se tre eventi A, B, C sono indipendenti, allora ciascun evento è indipendente da qualsiasi costruzione degli altri due eventi.

  Esempio. Riprendo l'esempio precedente.
  
  Sapendo che A, B, C sono indipendenti allora C è indipendente da A∪B o da A⋂B e via dicendo. In altre parole, l'evento C (5 al terzo dado) è indipendente dall'evento A∪B (3 al primo dado oppure 4 al secondo dado) $$ p(C|A \cap B) =p(C) = \frac{1}{6} $$ L'evento C (5 al terzo dado) è anche indipendente dall'evento A⋂B (3 al primo dado e 4 al secondo dado). $$ p(C|A \cup B) =p(C) = \frac{1}{6} $$

E così via.