Lo studio del segno di un trinomio di secondo grado
Per studiare il segno di un trinomio di secondo grado con il primo coefficiente non nullo a<>0
$$ ax^2+bx+c $$
considero l'equazione associata
$$ ax^2+bx+c = 0 $$
di cui calcolo il discriminante
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
A seconda del discriminante si verificano queste situazioni
- Δ>0
Se il discriminante è positivo, l'equazione associata ha due radici distinte x1, x2 che dividono il segno del trinomio in tre intervalli. I due intervalli estremi sono concordi al coefficiente a, cioé hanno lo stesso segno del coefficiente a. L'intervallo centrale è invece di segno discorde.
Nota. In questo caso la parabola interseca l'asse delle x in due punti diversi con la concavità rivolta verso l'alto se il coefficiente a è positivo, oppure verso il basso se il coefficiente a è negativo.
- Δ=0
Se il discriminante è nullo, l'equazione associata ha una sola radice x1 che divide il segno del trinomio in due intervalli. Il segno del trinomio è concorde al coefficiente a in tutto il periodo salvo che nel punto della radice x1 dove assume un valore nullo.
Nota. In questo caso la parabola interseca l'asse delle x in un solo punto con la concavità rivolta verso l'alto se il coefficiente a è positivo, oppure verso il basso se il coefficiente a è negativo.
- Δ<0
Se il discriminante è negativo, l'equazione associata non ha radici. In questo caso il trinomio ha segno concorde con il coefficiente a per ogni valore reale.
Nota. In questo caso la parabola non interseca mai l'asse delle x con la concavità rivolta verso l'alto se il coefficiente a è positivo, oppure verso il basso se il coefficiente a è negativo.
Un esempio pratico
Considero il trinomio
$$ 3x^2-10x+7 $$
Per studiare il segno del trinomio verifico se l'equazione associata ammette soluzioni
$$ 3x^2-10x+7 = 0 $$
Il discriminante dell'equazione di 2° grado è positivo Δ>0. Quindi, l'equazione ha due radici distinte.
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16 $$
Le radici dell'equazione sono
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$
$$ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{16}}{2(3)} $$
$$ x = \frac{10 \pm 4}{6} = \begin{cases} \frac{10-4}{6} = 1 \\ \\ \frac{10+4}{6} = \frac{7}{3} \end{cases} $$
Le radici sono x1=1 e x2=7/3
Il coefficiente a=3 ha segno positivo (+).
Essendo il discriminante positivo Δ>0, il trinomio ha segno concorde (+) con il coefficiente a negli intervalli esterni (-∞;1) e (7/3;∞) e segno discorde (-) nell'intervallo interno tra le radici (1;7/3).
Per conferma disegno il grafico del trinomio.
La parabola ha la concavità rivolta verso l'alto perché il coefficiente a>0 è positivo (a=+3) e interseca l'asse x nei punti x1=1 e x2=7/3.
Nell'intervallo tra le radici (1;7/3) il trinomio ha segno discorde (-) rispetto al primo coefficiente (a=+3). Ha invece segno concorde (+) negli intervalli esterni (-∞;1) e (7/3;∞).
E così via.
