La media quadratica ponderata
La media quadratica ponderata è una variante della media quadratica in cui ciascun termine è moltiplicato per un peso. Si ottiene con la seguente formula. $$ \mu = \sqrt{ \frac{ \sum x^2_i \cdot w_i}{ \sum w_i} } $$
La scelta dei pesi wi da assegnare ai termini è arbitaria.
In genere, si assegna un peso maggiore ai termini a cui dare maggiore importanza. E viceversa.
I pesi possono anche essere le frequenze assolute dei termini.
Un esempio pratico
L'esame di matematica è diviso in tre compiti A, B, C
Uno studente prende 18 al primo compito (A), 22 al secondo compito (B) e 26 al terzo compito (C).
La media quadratica semplice dei tre compiti è 21,24
$$ \mu = \sqrt{ \frac{18^2 + 22^2 + 26^2}{3} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{324 + 484 + 676}{3} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{1484}{3} } $$
$$ \mu = 22,24 $$
Tuttavia, il professore assegna ai compiti dei pesi diversi.
$$ w_A = 4 \\ w_B = 3 \\ w_C=2 $$
In questo caso, per calcolare la media devo usare la formula della media quadratica ponderata.
$$ \mu = \sqrt{ \frac{ \sum x^2_i \cdot w_i}{ \sum w_i} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{18^2 \cdot 4 + 22^2 \cdot 3 + 26^2 \cdot 2}{4+3+2} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{324 \cdot 4 + 484 \cdot 3 + 676 \cdot 2}{9} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{1296 + 1452 + 1352}{9} } $$
$$ \mu = \sqrt{ \frac{4100}{9} } $$
$$ \mu = 21,34 $$
La media quadratica ponderata dei voti è μ=21,34.
In questo caso la media ponderata è più bassa rispetto alla media quadratica semplice (μ=22,24) perché il voto al compito A ha un peso più alto rispetto agli altri.
E così via.
