Gli indici di posizione in statistica

Gli indici di posizione sono valori sintetici che forniscono informazioni su una distribuzione statistica.

In statistica si cerca di riassumere una distribuzione con un valore che possa esprimere sinteticamente il fenomeno.

Esistono diversi tipi di indicatori di posizione

• Le medie di calcolo
  Si calcolano considerando tutti i valori della distribuzione. In genere sono usati per misurare i valori centrali di una distribuzione. Ad esempio, la media aritmetica, la media geometrica, la media armonica, la media quadratica, ecc.

  Esempio. Considero una distribuzione di valori $$ 5 \ , \ 7 \ , \ 2 , \ 12 \ , \ 4 $$ La media aritmetica determina un valore centrale intorno al quale gravitano tutti gli altri elementi della distribuzione. $$ \mu = \frac{5+7+2+12+4}{5} = \frac{30}{5} = 6 $$

• Le medie di posizione
  Si calcolano considerando solo alcuni valori della distribuzione. Possono misurare anche valori non centrali. Ad esempio, la mediana, i quantili, quartili, quintili, decili, percentili, la moda, ecc.

  Esempio. Riprendo la distribuzione di valori dell'esempio precedente $$ 5 \ , \ 7 \ , \ 2 , \ 12 \ , \ 4 $$ Ordino gli elementi in modo crescente $$ 2 \ , \ 4 \ , \ 5 , \ 7 \ , \ 12 $$ Il primo quartile è l'elemento che ripartisce la distribuzione ordinata in due parti: una parte contiene 1/4 degli elementi e l'altra 3/4 degli elementi della distribuzione. $$ \underbrace{ 2 } \ , \ 4 \ , \ \underbrace{ 5 , \ 7 \ , \ 12 \ } $$ In questo caso il primo quartile è 4. $$ Q_1 = 4 $$

• Altri indicatori di posizione
  Esistono anche indicatori sintetici che individuano la posizione degli elementi con determinate caratteristiche. Ad esempio, la moda, il valore minimo o massimo, ecc.

  Esempio. Considero questa distribuzione di valori $$ 3 \ , \ 6 \ , \ 2 \ , \ 8 \ , \ 2 $$ La moda è l'elemento che si presenta con la frequenza maggiore nella distribuzione. $$ 3 \ , \ 6 \ , \ \color{red}2 \ , \ 8 \ , \ \color{red}2 $$ In questo caso è 2 perché si presenta due volte. Tutti gli altri si presentano una sola volta. $$ \mu_o = 2 $$

Quali sono gli indici di posizione?

I principali indici di posizione sono i seguenti

• La media aritmetica
  La media aritmetica è l’indice di posizione centrale più diffuso e utilizzato. E' facile da calcolare.
• La media ponderata
  I valori della distribuzione sono associati a dei pesi. Esistono diverse medie ponderate (aritmetica, geometrica, ecc.).
• La media geometrica
  La media geometrica è impiegata per calcolare le variazioni medie percentuali di fenomeni che si modificano nel tempo.
• La media armonica
  La media armonica è adatta per calcolare i valori medi di dati che derivano dai reciproci di altri dati, come nel calcolo del prezzo medio di un bene per determinare il potere di acquisto della moneta.
• La media quadratica
  La media quadratica viene impiegata quando è necessario valutare gli scostamenti, positivi o negativi, rispetto a un valore medio fisso, oppure quando occorre considerare la presenza di valori significativamente distanti dal centro di una distribuzione di dati.
• La mediana
  La mediana è particolarmente utile perché non è influenzata dalle differenze estreme tra i dati
• La moda
  La moda rappresenta il valore che si verifica con maggiore frequenza.
• I quantili
  I quantili (quartili, decili, percentili) sono valori che dividono un insieme di dati ordinati in intervalli uguali, rappresentando le soglie sotto le quali cade una certa percentuale dei dati.

La relazione tra le medie

Si può dimostrare che tra la media aritmetica (A), la media geometrica (G), la media armonica (M) e la media quadratica (Q) sussiste una relazione di ordine:

$$ M < G < A < Q $$

In altre parole, la media armonica (M) è inferiore alla media geometrica (G), che a sua volta è inferiore alla media aritmetica (A) e alla media quadratica (Q).

Esempio

Per dimostrare la relazione tra le medie, considero un semplice esempio con due numeri: 4 e 9.

• Media aritmetica (A)
  La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero: $$ A = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 $$
• Media geometrica (G)
  La media geometrica è la radice n-esima del prodotto dei valori, dove n è il numero di valori: $$ G = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 $$
• Media armonica (M)
  La media armonica si calcola come il reciproco della media dei reciproci: $$ M = \frac{2}{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \frac{2}{\frac{9 + 4}{36}} = \frac{2 \times 36}{13} \approx 5.54 $$
• Media quadratica (Q)
  La media quadratica si ottiene facendo la radice quadrata della media dei quadrati dei valori:  $$ Q = \sqrt{\frac{4^2 + 9^2}{2}} = \sqrt{\frac{16 + 81}{2}} = \sqrt{\frac{97}{2}} = \sqrt{48.5} \approx 6.96 $$

Dai calcoli, posso verificare che la relazione di ordine è rispettata:

$$ M \approx 5.54 < G = 6 < A = 6.5 < Q \approx 6.96 $$

Questo conferma che la media armonica è la più bassa, seguita dalla media geometrica, media aritmetica e infine la media quadratica.

E così via.