La media quadratica

La media quadratica è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei termini. $$\mu_q = \sqrt{ \frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2}{n}}$$

A cosa serve

La media quadratica è più sensibile alla differenza tra i termini x₁,x₂,...,x_n della distribuzione e il valore medio μ.

Ad esempio, è utile per valutare la deviazione, lo scostamento o l'errore di una distribuzione di dati rispetto alla media aritmetica, perché evita il problema del segno e tiene in considerazione soltanto l'ampiezza degli scostamenti. 

Nel caso della media aritmetica, invece, i valori con segno opposto si compensano.

Nota. Un modo per approssimare la dispersione di una distribuzione rispetto al valore medio è calcolare la differenza tra la media quadratica μ_q e la media aritmetica μ $$\mu_q - \mu$$ oppure $$\frac{\mu_q - \mu}{\mu_q}$$ In quest'ultimo caso la media quadratica non deve essere mai uguale a zero, altrimenti si incappa in una divisione per zero (impossibile).

Un esempio pratico

Considero la distribuzione di valori

$$X = \{ 1,5,7,3,6,8 \}$$

Nella distribuzione ci sono n=6 termini e la media aritmetica è μ=5

 

Nota. La media aritmetica della distribuzione dei dati è μ=5 $$\mu= \frac{1+5+7+3+6+8}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

Calcolo la media quadratica della distribuzione

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{1^2+5^2+7^2+3^2+6^2+8^2}{6} }$$

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{1+25+49+9+36+64}{6} }$$

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{184}{6} }$$

$$\mu_q = 5,54$$

La media quadratica è μ_q=5,54.

E' più grande rispetto alla media aritmetica (μ=5). Questo vuol dire che c'è un scostamento tra i dati e il valore medio.

$$\frac{\mu_q - \mu}{\mu_q} = \frac{5,44-5}{5,54} = 0,09$$

Esempio 2

Ora considero questa distribuzione

$$X = \{ 1,1,1,9,9,9 \}$$

E' un'altra distribuzione composta da n=6 termini e la media aritmetica è sempre uguale a μ=5.

Nota. La media aritmetica della distribuzione dei dati è 5 $$\mu= \frac{1+1+1+9+9+9}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

In questa distribuzione però i termini sono molto più distanti dal valore medio (μ=5).

Calcolo la media quadratica

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{1^2+1^2+1^2+9^2+9^2+9^2}{6} }$$

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{1+1+1+81+81+81}{6} }$$

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{246}{6} }$$

$$\mu_q = 6,4$$

La media quadratica è μ_q=6,4.

E' molto più alta rispetto alla precedente perché c'è un maggiore scostamento tra i termini x₁,x₂,...,x_n e la media aritmetica (μ=5).

$$\frac{\mu_q - \mu}{\mu_q} = \frac{6,4-5}{6,4} = 0,21$$

Esempio 3

Considero questa distribuzione

$$X = \{ 4,6,4,6,4,6 \}$$

E' un'altra distribuzione composta da n=6 numeri, la media aritmetica è sempre uguale a μ=5.

Nota. La media aritmetica della distribuzione dei dati è 5 $$\mu= \frac{4+6+4+6+4+6}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

In questo caso i termini della distribuzione sono molto vicini alla media aritmetica (μ=5).

Calcolo la media quadratica

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{4^2+6^2+4^2+6^2+4^2+6^2}{6} }$$

$$\mu _q= \sqrt{ \frac{16+36+16+36+16+36}{6} }$$

$$\mu_q = \sqrt{ \frac{156}{6} }$$

$$\mu_q = 5,01$$

La media quadratica è μ_q=5,1

In questo caso la media quadratica è quasi uguale alla media aritmetica dei termini (μ=5) perché c'è meno differenza tra i singoli valori della distribuzione e il valore medio.

$$\frac{\mu_q - \mu}{\mu_q} = \frac{5,1-5}{5,1} = 0,01$$

Osservazioni

Alcune osservazioni sulla media quadratica

• La media quadratica è uguale alla media aritmetica quando tutti i termini della distribuzione sono costanti

  Esempio. Considero questa distribuzione con tutti i termini costanti $$X = \{ 5,5,5,5,5,5 \}$$ La media aritmetica è uguale a μ=5 $$\mu = \frac{5+5+5+5+5+5}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ Anche la media quadratica è uguale a μ_q= 5 $$\mu_q = \sqrt{ \frac{5^2+5^2+5^2+5^2+5^2+5^2}{6} }$$ $$\mu_q= \sqrt{ \frac{25+25+25+25+25+25}{6} }$$ $$\mu_q = \sqrt{ \frac{150}{6} } = \sqrt{ 25 } = 5$$ In questo caso la dispersione dei dati intorno al valore medio è nulla. $$\frac{\mu_q - \mu}{\mu_q} = \frac{5-5}{5} = 0$$

• La media quadratica (μ_q) è sempre maggiore o uguale della media aritmetica (μ). A sua volta la media aritmetica è maggiore o uguale rispetto alla media geometrica (μ_g) e alla media armonica (μ_h). $$\mu_h \le \mu_g \le \mu \le \mu_q$$
• La media quadratica ponderata
  La media quadratica ponderata è una versione alternativa della media quadratica in cui a ogni termine è associato un peso arbitrario (w_i). $$\mu = \sqrt{ \frac{ \sum x^2_i \cdot w_i}{ \sum w_i} }$$

E così via.