La distribuzione normale
Cos'è la distribuzione normale
La distribuzione normale è una distribuzione di probabilità caratterizzata da una curva a campana simmetrica. E' anche detta distribuzione gaussiana.
La curva a campana simmetrica è detta curva normale o curva di Gauss (o gaussiana).
E' definita dalla media e dalla deviazione standard di una popolazione.
Nota. Il nome "gaussiana" deriva dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, che la descrisse per la prima volta nel 1809. In genere si usa il termine "distribuzione normale" in matematica e statistica, mentre il termine "distribuzione gaussiana" è più utilizzato in fisica e ingegneria. Entrambi i termini si riferiscono alla stessa distribuzione di probabilità continua.
Come si calcola?
Per calcolare la distribuzione normale di una popolazione ho bisogno di due dati
Con questi due dati posso calcolare le probabilità dei valori.
A cosa serve?
Il calcolo della distribuzione normale mi fornisce informazioni sulla distribuzione delle probabilità dei valori che una variabile statistica può assumere.
Esempio. L'altezza delle persone della popolazione in una determinata fascia d'età può essere ben rappresentata dalla distribuzione normale perché gran parte delle persone hanno un'altezza vicina alla media. Va comunque detto che non tutti i fenomeni sono rappresentabili con la distribuzione gaussiana e, in ogni caso, è sempre presente un margine di incertezza nella rappresentazione.
Le caratteristiche della distribuzione gaussiana
In una dimostrazione gaussiana il 68,27% dei valori è compreso tra M-σ e M+σ, dove M è la media aritmetica e σ è la deviazione standard.
Questo accade perché in una distribuzione gaussiana la deviazione standard è strettamente legata al modo in cui si distribuiscono le frequenze intorno al valore medio.
Si può dimostrare che:
- il 68,27% dei valori è compreso tra M-σ e M+σ
- il 95,45% dei valori è compreso tra M-2σ e M+2σ
- il 99,74% dei valori è compreso tra M-3σ e M+3σ
Per raggiungere il 99,99% dei valori dovrei considerare un margine pari M-3,29σ e M+3,29σ
Si tratta comunque di un risultato approssimato perché le popolazioni non seguono perfettamente la distribuzione normale. Tuttavia, in alcuni fenomeni il risultato che ottengo è abbastanza accettabile.
Un esempio pratico
Considero una popolazione X composta da 100 studenti di cui conosco la media dell'altezza
$$ \mu=1,8 \ metri $$
e la deviazione standard
$$ \sigma^2 = 0,1 $$
A partire da questi dati voglio conoscere la probabilità per fasce di altezza
Scrivo una tabella con le altezze in ordine crescente da 1,65 a 2,00 metri
| altezza | densità di probabilità | cumulativa |
|---|---|---|
| 1,6 | ||
| 1,65 | ||
| 1,7 | ||
| 1,75 | ||
| 1,8 | ||
| 1,85 | ||
| 1,9 | ||
| 1,95 | ||
| 2,00 |
Quindi, calcolo la densità di probabilità normale e cumulativa usando la distribuzione normale.
| altezza | densità di probabilità | cumulativa |
|---|---|---|
| 1,6 | 0,54 | 0,02 |
| 1,65 | 1,30 | 0,07 |
| 1,7 | 2,42 | 0,16 |
| 1,75 | 3,52 | 0,31 |
| 1,8 | 3,99 | 0,50 |
| 1,85 | 3,52 | 0,69 |
| 1,9 | 2,42 | 0,84 |
| 1,95 | 1,30 | 0,93 |
| 2,00 | 0,54 | 0,98 |
La funzione della densità di probabilità mi fornisce un'idea sulla probabilità dei valori.
Ad esempio, i valori più vicini alla media aritmetica (μ=1,8) hanno una densità di probabilità maggiore.
Dal punto di vista grafico la distribuzione della densità di probabilità assume la classica forma di curva a campana simmetrica.
La curva della funzione di distribuzione cumulativa è invece una curva crescente da 0 a 1
Dove 0 e 1 misurano la probabilità.
La funzione di distribuzione cumulativa mi permette di calcolare la probabilità per fascia di altezza.
Ad esempio, sapendo che la probabilità cumulativa fino a 1,7 metri è 0,16 e quella fino a 1,75 metri è 0,31, calcolo per differenza la probabilità della fascia 1,7-1,75
$$ p = 0,31 - 0,16 = 0,15 $$
Pertanto, la probabilità dell'altezza tra 1,7 e 1,75 metri è del 15%
Allo stesso modo posso calcolare le altre probabilità.
| altezza | probabilità | nota |
|---|---|---|
| 1,60 - 1.65 | 0,05 | 0,07-0,02 = 0,05 = 5% |
| 1-65 - 1,70 | 0,09 | 0,16-0,07 = 0,09 = 9% |
| 1,70 - 1,75 | 0,15 | 0,31-0,16 = 0,15 = 15% |
| 1,75 - 1,80 | 0,19 | 0,50-0,31 = 0,19 = 19% |
| 1,80 - 1,85 | 0,19 | 0,69-0,50 = 0,19 = 19% |
| 1,85 - 1,90 | 0,15 | 0,84-0,69 = 0,15 = 15% |
| 1,90 - 1,95 | 0,09 | 0,93-0,84 = 0,09 = 9% |
| 1,94 - 2,00 | 0,05 | 0,98-0,83 = 0,05 = 5% |
L'analisi campionaria
La distribuzione normale mi permette di studiare le caratteristiche di una popolazione osservando soltanto un campione della popolazione.
Cos'è un campione? E' un sottoinsieme di dati (o campione) selezionato in modo casuale dalla popolazione. L'obiettivo dell'analisi del campione è quello di trarre conclusioni sulla popolazione più ampia sulla base dei dati raccolti dal campione. Queste permette di ridurre i tempi e i costi dell'analisi statistica.
In questo caso il campione è composto da un numero "n" inferiore di elementi rispetto alla popolazione.
Per condurre l'analisi campionaria devo utilizzare:
- La media aritmetica del campione (μc)
- Le deviazione standard del campione (sc)
Nota. Nel caso dei campioni utilizzo il simbolo "s" per indicare la deviazione standard del campione. In modo da distinguerla dal simbolo σ che generalmente si utilizza per indicare la deviazione standard di una popolazione.
La media aritmetica del campione mi fornisce un'approssimazione della media aritmetica dell'intera popolazione.
In questo modo ottengo un'informazione sulla popolazione senza dover analizzare tutte le sue unità statistiche.
Nota. Ogni campione ha una media campionaria diversa dagli altri campioni. Pertanto, l'analisi campionaria è soggetta a un margine di incertezza che devo considerare.
Per calcolare l'incertezza dell'approssimazione posso utilizzare l'errore standard.
$$ s_x = \frac{s_c}{ \sqrt{n-1} } $$
Dove n è il numero di unità del campione e sc è la deviazione standard del campione.
L'errore standard mi permette di calcolare l'intervallo di confidenza.
$$ ( μ_c - 3 \cdot s_x \ , \ μ_c + 3 \cdot s_x ) $$
L'intervallo di confidenza è un intervallo che comprende al 99,74% il valore medio dell'intera popolazione.
Esempio. In una fabbrica che produce bulloni prelevo un campione di 50 bulloni per misurare il peso in grammi. La media aritmetica del campione è di 19,3 grammi e la deviazione standard campionaria è di 0,985. In questo caso l'errore standard è pari a 0,14 $$ s_x = \frac{0,985}{\sqrt{50-1}{}} = 0,14 $$ Pertanto, l'intervallo di confidenza è $$ (19,3 - 3 \cdot 0,14 \ , \ 19,3 + 3 \cdot 0,14 ) $$ $$ (18,88 \ , \ 19,72 ) $$Questo vuol dire che al 99,75% la media aritmetica del peso dei bulloni nell'intera popolazione è compresa tra 18,88 grammi e 19,72 grammi.
Se la stima riguarda una percentuale, per calcolare l'errore standard utilizzo una formula diversa
$$ s = \sqrt{ \frac{f \cdot (1-f) }{n} } $$
Anche in questo caso l'errore standard è inversamente correlato al numero di unità del campione (n).
Pertanto, quanto più aumenta la numerosità del campione, tanto più si riduce l'errore standard e l'ampiezza dell'intervallo di confidenza.
Esempio. In un urna ci sono un migliaio di palline. Estraggo un campione di 50 palline e ne osservo il colore. Il 30% delle palline sono rosse. Per proiettare questo dato sull'intera popolazione utilizzo la formula $$ s = \sqrt{ \frac{f \cdot (1-f) }{n} } $$ In questo caso f=0,30 e n=50 $$ s = \sqrt{ \frac{0,30 \cdot (1-0,30) }{50} } = \sqrt{ \frac{0,30 \cdot 0,70 }{50} } = \sqrt{ 0,21 }{50} = \sqrt{ 0,0042 } = 0,064 $$ L'errore standard è di 0,064 punti percentuali. Pertanto, l'intervallo di confidenza è compreso tra $$ (0,30 - 3 \cdot 0,064 \ , \ 0,30 + 3 \cdot 0,064 ) $$ $$ (0,30 - 0,192 \ , \ 0,30 - 0,192 ) $$ $$ (0,10,8 \ , \ 0,494 ) $$ Questo vuol dire che molto probabilmente, al 99,74%, la percentuale di palline rosse nell'intera popolazione è compresa tra il 10,8% e il 49,4%. L'intervallo è molto ampio. Per ridurlo dovrei prendere un campione con più palline. Ad esempio, estraggo n=200 palline e il 25% di queste sono rosse (f=0,25). Calcolo l'errore standard. $$ s = \sqrt{ \frac{0,25 \cdot (1-0,25) }{200} } = 0,0306 $$ In questo caso al 99,74% la popolazione delle palline rosse è compresa tra il 15,9% e il 34,1% $$ (0,25 - 0,0306 \cdot 3 \ , \ 0,25 + 0,0306 \cdot 3 ) $$ $$ (0,25 - 0,091 \ , \ 0,25 + 0,091 ) $$ $$ (0,159 \ , \ 0,341 ) $$ L'intervallo è ancora elevato ma è meno ampio rispetto al caso precedente.
E così via.
