Il calcolo combinatorio

Cos'è il calcolo combinatorio

Il calcolo combinatorio è una disciplina matematicha che studia i raggruppamenti ottenibili con un insieme di oggetti.

Esistono diversi metodi di raggruppamento, quelli più conosciuti sono le permutazioni, le disposizioni e le combinazioni.

    La legge della somma e del prodotto

    Il calcolo combinatorio si basa sulla legge della somma e del prodotto.

    La legge della somma

    Dati 2 insiemi disgiunti tra loro A e B, la cardinalità dell'insieme unione A∪B è uguale alla somma delle cardinalità dei singoli insiemi $$ |A∪B|=|A|+|B| $$

    La legge si può estendere a 3,4 o n insiemi.

    Esempio

    Ho un insieme con tre consonanti

    $$ A = \{ k, m, z \} $$

    e un insieme con due vocali

    $$ B = \{ a, e \} $$

    Sono insiemi disgiunti.

    L'intersezione degli insiemi A ⋂ B è un insieme vuoto Ø.

    $$ A ⋂ B = Ø $$

    La cardinalità degli insiemi è

    $$ |A|=3 \\ |B|=2 $$

    L'insieme unione A ∪ B è

    $$ A ∪ B = \{ k, m, z, a, e \} $$

    La cardinalità dell'insieme unione A ∪ B è uguale a 5

    $$ |A ∪ B| = 5 $$

    ed è uguale alla somma della cardinalità dei singoli insiemi

    $$ |A ∪ B| = |A|+|B|=3+2=5 $$

    La legge del prodotto

    Dati due insiemi A,B il prodotto tra le cardinalità |A|*|B| è uguale alla cardinalità del prodotto cartesiano |AxB|. $$ |A|\cdot|B| = |AxB| $$

    La legge si può estendere a 3,4 o n insiemi.

    Esempio

    Posso scegliere un'automobile tra due tipi di modelli

    $$ A = \{ utilitaria, sportiva \} $$

    e tre colori

    $$ B=\{ rossa, verde, gialla \} $$

    La cardinalità degli insiemi è

    $$ |A|=2 \\ |B|=3 $$

    Il prodotto cartesiano AxB è composto dalle coppie:

    $$ A = \{ \\ (utilitaria,rossa), (utilitaria, verde), (utilitaria, gialla), \\ (sportiva, rossa), (sportiva, verde), (sportiva, gialla) \\ \} $$

    La cardinalità del prodotto cartesiano è

    $$ |AxB|=6 $$

    ed è uguale al prodotto delle cardinalità degli insiemi

    $$ |AxB|=|A| \cdot |B| = 3 \cdot 2 = 6 $$

    E così via.


     
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