La media geometrica ponderata

La media geometrica ponderata è una variante della media geometrica in cui ciascun elemento viene elevato a potenza per un peso intero (w). Il prodotto dei valori ponderati è messo sotto radice con indice di radice pari alla somma dei pesi. $$ \mu = \sqrt[ \sum{w_i} \ ]{\prod_{i=1}^n x_i^{w_i} } $$

Posso disporre i pesi in modo arbitrario per dare maggiore importanza ad alcuni elementi piuttosto che ad altri.

Ad esempio, posso dare maggiore peso agli ultimi valori della serie.

In alternativa, potrei usare la frequenza assoluta di ogni termine come peso.

Nota. In generale, la media geometrica ponderata è molto più sensibile ai valori piccoli rispetto alla media aritmetica ponderata. D'altro canto, tra gli svantaggi c'è da considerare che i calcoli diventano molto più complicati. In particolare se i termini sono molti e/o i pesi sono valori elevati. Inoltre, se anche un solo termine è nullo, l'intero risultato si annulla.

Un esempio pratico

Uno studente svolge tre compiti A, B, C per passare l'esame di analisi matematica

Al primo compito (A) prende 18, al secondo compito (B) prende 22 e al terzo compito (C) prende 26.

La media geometrica semplice dei tre compiti è 21,75

$$ \mu = \sqrt[3]{18 \cdot22 \cdot 26}$$

$$ \mu = \sqrt[3]{10296}$$

$$ \mu = 21,75 $$

Tuttavia, il professore decide che i compiti hanno pesi diversi.

$$ w_A = 4 \\ w_B = 3 \\ w_C=2 $$

Per calcolare la media devo usare la media aritmetica ponderata.

$$ \mu = \sqrt[4+3+2]{18^4 \cdot22^3 \cdot 26^2} $$

$$ \mu = \sqrt[9]{104976 \cdot 10648 \cdot 676} $$

$$ \mu = 20,51 $$

In questo caso la media geometrica ponderata è più bassa ( μ=20,51 ) rispetto alla media geometrica semplice ( μ=21,75 ) perché il peso del primo compito (A) è più alto rispetto agli altri

E così via.