Radicali quadratici doppi
Un radicale quadratico doppio è un'espressione del tipo $$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} $$
Se l'espressione a2-b è il quadrato di un numero razionale, posso trasformare il radicale quadratico doppio in una somma o differenza di due radicali
$$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
Un esempio pratico
Considero il radicale quadratico doppio
$$ \sqrt{3+\sqrt{5}} $$
Verifico se a2-b è il quadrato di un numero razionale, dove a=3 e b=5
$$ a^2 - b = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4 $$
L'espressione a2-2 è uguale a 4, quindi è uguale al quadrato di 2.
Posso usare la formula di trasformazione del radicale doppio di una somma o differenza di radicali.
$$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
In questo caso essendoci il segno + è una somma di radicali
$$ \sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
Dove a=3 e b=5
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2-5}}{2}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{3^2-5}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{9-5}}{2}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{9-5}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{4}}{2}} + \sqrt{\frac{3-\sqrt{4}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3+2}{2}} + \sqrt{\frac{3-2}{2}} $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} $$
Per avere un radicando intero, applico la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplico e divido per 2 entrambi i radicandi
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} } $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{4} } + \sqrt{\frac{2}{4} } $$
Questo mi permette di far uscire il denominatore (4) delle frazioni dalle radici
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{2^2} } + \sqrt{\frac{2}{2^2} } $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \frac{1}{2} \sqrt{10} + \frac{1}{2} \sqrt{2} $$
$$ \sqrt{3 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Quest'ultima espressione è equivalente al radicale doppio
$$ \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} $$
Esempio 2
Considero il radicale quadratico doppio
$$ \sqrt{3-\sqrt{8}} $$
Verifico se l'espressione a2-b è un quadrato di un numero razionale, dove a=3 e b=8
$$ a^2 - b = 3^2 - 8 = 9 - 1 = 1 $$
L'espressione a2-2 è uguale a 1.
Poiché 1 è il quadrato di se stesso, posso applicare la formula di trasformazione del radicale doppio.
$$ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
In questo caso essendoci il segno - è una differenza di radicali
$$ \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $$
Dove a=3 e b=8
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2-8}}{2}} - \sqrt{\frac{3-\sqrt{3^2-8}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}} - \sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{1}}{2}} - \sqrt{\frac{3-\sqrt{1}}{2}} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{\frac{3+1}{2}} - \sqrt{\frac{3-1}{2}} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{\frac{4}{2}} - \sqrt{\frac{2}{2}} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{2} - \sqrt{1} $$
$$ \sqrt{3 - \sqrt{8}} = \sqrt{2} - 1 $$
Quest'ultima espressione è equivalente al radicale doppio iniziale
$$ \sqrt{2} - 1 $$
E così via.
