Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Un'equazione differenziale è lineare se può essere scritta in questa forma $$ y'+a(x)y=b(x) $$ dove a(x) e b(x) sono funzioni continue in un intervallo.
L'equazione differenziale lineare del primo ordine è detta omogenea se b(x)=0
$$ y'+a(x)y=0 $$
E' invece detta completa se b(x)≠0.
Come risolvere l'equazione differenziale lineare
L'integrale generale (soluzione) di un'integrale differenziale del primo ordine del tipo y'+a(x)y=b(x) è $$ y=e^{-\int a(x)dx} \int b(x)e^{\int a(x)dx} dx +c $$
Se l'equazione è omogenea la soluzione è $$ y = ke^{-\int a(x)dx} $$ dove k è una costante reale.
Un esempio pratico
Esempio 1
Ecco un esempio di eq.differenziale lineare omogenea
$$ y'=x^2y $$
Riscrivo l'equazione nella forma equivalente y'+a(x)y=0
$$ y'-x^2y = 0 $$
E' evidente che a(x)=-x2
Quindi, applico la formula per trovare la soluzione
$$ y = k \cdot e^{- \int a(x)dx} $$
$$ y = k \cdot e^{- \int -x^2 \: dx} $$
$$ y = k \cdot e^{\int x^2 \: dx} $$
$$ y = k \cdot e^{\frac{x^3}{3} \: dx} $$
Esempio 2
Ecco un esempio di equazione differenziale lineare completa
$$ y' = -\frac{y}{x} + 2x $$
Riscrivo l'equazione nella forma equivalente y'+a(x)y=b(x)
$$ y'+\frac{y}{x} = 2x $$
E' quindi evidente che a(x)=1/x e b(x)=2x
Applico la formula per trovare la soluzione dell'equazione
$$ y=e^{-\int a(x)dx} \int b(x)e^{\int a(x)dx} dx +c $$
$$ y=e^{-\int \frac{1}{x} dx} \int 2x \cdot e^{\int \frac{1}{x}dx} dx +c $$
$$ y=e^{- \log x} \int 2x \cdot e^{\log x} dx +c $$
$$ y=e^{- \log x} 2 \cdot \int x \cdot e^{\log x} dx +c $$
$$ y= \frac{1}{e^{ \log x} } 2 \cdot \int x \cdot e^{\log x} dx +c $$
Sapendo che elog x = x
$$ y=\frac{1}{x} \cdot 2 \int x \cdot x \: dx +c $$
$$ y=\frac{2}{x} \cdot [ \int x^2 \: dx +c ] $$
$$ y=\frac{2}{x} \cdot [ \frac{x^3}{3} +c ] $$
$$ y= \frac{2x^3}{3x} + \frac{2c}{x} $$
$$ y= \frac{2x^2}{3} + \frac{2c}{x} $$
E così via.
