Le equazioni differenziali elementari
Sono le equazioni differenziali più semplici $$ f'(x)=g(x) $$ perché la soluzione si ottiene tramite un integrale $$ f(x)=\int g(x) dx = F(x)+c $$
Un esempio pratico
Ecco una semplice equazione differenziale elementare
$$ f'(x)=2x $$
Per trovare la soluzione calcolo l'integrale a entrambi i membri dell'equazione.
$$ \int f'(x) \: dx= \int 2x \: dx $$
$$ f(x) = x^2+c $$
Ho così trovato la soluzione dell'equazione differenziale elementare.
Esempio 2
Un'altra equazione differenziale
$$ f'(x) = 3e^{2x} $$
Per trovare la funzione incognita f(x) integro entrambi i membri dell'equazione
$$ \int f'(x) dx = \int 3e^{2x} dx $$
L'integrale della funzione f'(x) è la funzione f(x)
$$ f(x) = \int 3e^{2x} dx $$
Faccio uscire la costante 3 dall'integrale
$$ f(x) = 3 \cdot \int e^{2x} dx $$
Per risolvere l'integrale moltiplico e divido per 2
$$ f(x) = 3 \cdot \int \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^{2x} dx $$
In questo modo posso risolvere l'integrale perché 2e2x è la derivata di e2x
$$ f(x) = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \cdot 2 \cdot e^{2x} dx $$
$$ f(x) = \frac{3}{2} \cdot \int \cdot 2 \cdot e^{2x} dx $$
Sapendo che ∫2e2x dx = e2x+c
$$ f(x) = \frac{3}{2} \cdot e^{2x} $$
$$ f(x) = \frac{3e^{2x}}{2} $$
La funzione incognita f(x) è 3e2x
Esempio 3
Questa equazione differenziale è di 2° grado ma è comunque elementare perché la soluzione richiede solo due operazioni di integrazione.
$$ f''(x) = 2- \cos x $$
Integro entrambi i membri
$$ \int f''(x) dx = \int 2- \cos x dx $$
$$ f'(x) = 2x - \sin x + c $$
Il risultato è la derivata prima f'(x) della funzione.
Integro nuovamente i membri dell'equazione per ottenere la soluzione f(x)
$$ \int f'(x) dx = \int (2x - \sin x + c) \ dx $$
$$ f(x) = x^2 + \cos x + cx + c_2 $$
Quindi, la funzione incognita f(x) è x2+cos x + cx +c2
E così via.
