Le condizioni di similitudine di una affinità
Un'affinità è una similitudine se sono verificate queste condizioni:
- \( a^2 + a'^2 = b^2 + b'^2 \)
- \( ab + a'b' = 0 \)
In questo caso il rapporto di similitudine è:
\[ k = \sqrt{a^2+a'^2} = \sqrt{b^2+b'^2} \]
Dimostrazione
Considero una generica trasformazione affine:
\[ \begin{cases} x' = a x + b y + c \\ y' = a' x + b' y + c' \end{cases} \]
Prendo due punti \( A(x_A,y_A) \) e \( B(x_B,y_B) \).
Le differenze tra le coordinate sono le seguenti:
\[ x_B' - x_A' = a(x_B-x_A) + b(y_B-y_A) \] \[ y_B' - y_A' = a'(x_B-x_A) + b'(y_B-y_A) \]
La distanza tra le immagini è:
\[ \overline{A'B'} = \sqrt{\big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2 + \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2} \]
Elevo al quadrato per semplificare i conti:
\[ (\overline{A'B'})^2 = \big[a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)\big]^2 + \big[a'(x_B-x_A)+b'(y_B-y_A)\big]^2 \]
Svolgo i quadrati dei binomi:
\[ \begin{aligned} (\overline{A'B'})^2 &= \big[a^2(x_B-x_A)^2 + 2ab(x_B-x_A)(y_B-y_A) + b^2(y_B-y_A)^2\big] \\ &\quad + \big[a'^2(x_B-x_A)^2 + 2a'b'(x_B-x_A)(y_B-y_A) + b'^2(y_B-y_A)^2\big] \end{aligned} \]
Raccolgo i termini simili:
\[ (\overline{A'B'})^2 = (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 + 2(ab+a'b')(x_B-x_A)(y_B-y_A) \]
Questa è esattamente la stessa espressione che avevo per il caso dell’isometria.
La distanza originaria tra \( A \) e \( B \) è:
\[ \overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
Quindi
\[ (\overline{AB})^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2. \]
A questo punto utilizzo le condizioni di similitudine
Per definizione, l’affinità è una similitudine di rapporto \( k \) se per ogni coppia di punti vale:
\[ \overline{A'B'} = k\,\overline{AB} \]
cioè, al quadrato,
\[ (\overline{A'B'})^2 = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
Sostituisco l'espressione trovata di \( (\overline{A'B'})^2 \)
\[ (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 + 2(ab+a'b')(x_B-x_A)(y_B-y_A) = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
Ora imposto le condizioni che ho enunciato:
La prima condizione impone che \( ab + a'b' = 0 \), quindi il termine misto scompare
\[ \require{cancel} (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 + \cancel{ 2(ab+a'b')(x_B-x_A)(y_B-y_A) } = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
\[ (a^2+a'^2)(x_B-x_A)^2 + (b^2+b'^2)(y_B-y_A)^2 = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
La seconda condizione stabilisce che \( a^2 + a'^2 = b^2 + b'^2 \).
Indico questo valore comune con \( k^2 = a^2 + a'^2 = b^2 + b'^2 \)
\[ k^2 (x_B-x_A)^2 + k^2 (y_B-y_A)^2 = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
\[ k^2 [ (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 ] = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
Sapendo che \( (\overline{AB})^2 = (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 \) questa uguaglianza è soddisfatta
\[ \underbrace{ k^2 [ (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 ] }_{ (\overline{A'B'})^2 } = k^2 \underbrace{ [ (x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2 ] }_{ (\overline{AB})^2 } \]
\[ (\overline{A'B'})^2 = k^2\,(\overline{AB})^2 \]
Applico la proprietà invariantiva calcolando la radice quadrata in entrambi le parti dell'equazione:
\[ \sqrt{ (\overline{A'B'})^2 } = \sqrt{ k^2\,(\overline{AB})^2 } \]
\[ \overline{A'B'} = k\,\overline{AB} \]
Questo mostra che l’affinità è effettivamente una similitudine di rapporto $ k $ per ogni coppia di punti \( A,B \).
Dove $ k^2 = a^2+a'^2 = b^2+b'^2 $ per costruzione, quindi $ k $ è:
\[ k = \sqrt{a^2+a'^2} = \sqrt{b^2+b'^2}, \]
Come volevasi dimostrare.
E così via
