Come determinare l'equazione dell'ellisse nota l'eccentricità e un fuoco

Per determinare l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine, data l'eccentricità $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e le coordinate di un fuoco, seguo questi passaggi:

1. Il fuoco mi permette di individuare l'asse maggiore dell'ellisse
2. Se l'asse maggiore è orizzontale (a>b) la formula dell'eccentricità è $$e= \frac{c}{a}$$ altrimenti, se è verticale (a<b) è $$e= \frac{c}{b}$$
3. La formula dell'eccentricità mi permette di trovare la lunghezza del semiasse maggiore
4. Una volta trovata la lunghezza del semiasse maggiore, calcolo quella del semiasse minore in base alla relazione $c= \sqrt{a^2 - b^2}$ se l'asse maggiore è orizzontale (a>b) oppure $c= \sqrt{b^2 - a^2}$ se l'asse maggiore è verticale (a<b).

Un esempio pratico

Considero un'ellisse con centro nell'origine, un'eccentricità $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e un fuoco nel punto $(0, 4)$.

I fuochi di un'ellisse centrata nell'origine sono simmetrici rispetto all'origine. Quindi, se un fuoco si trova in $(0, 4)$, l'altro fuoco sarà in $(0, -4)$.

Sapendo che i fuochi si trovano sempre sull'asse maggiore, deduco che in questa ellisse l'asse maggiore è verticale.

La distanza tra i due fuochi $2c$ è uguale alla distanza tra i due punti $(0, 4)$ e $(0, -4)$) ed è uguale a 8

$$2c = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

$$2c = \sqrt{(0-0)^2+(4-(-4))^2}$$

$$2c = \sqrt{8}$$

Quindi, se $2c = 8$ allora la distanza tra il centro e un fuoco è la metà ovvero $c = 4$.

$$c=4$$

Quando l'asse maggiore è verticale, l'eccentricità $e$ è definita come $e = \frac{c}{b}$, dove $b$ è il semiasse maggiore.

$$e =  \frac{c}{b}$$

Dato $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ e $c = 4$, posso calcolare $b$:

$$\frac{2 \sqrt{5}}{5} =  \frac{c}{b}$$

$$\frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{4}{b}$$

$$b = \frac{4 \cdot 5}{2 \sqrt{5}}$$

$$b = \frac{20}{2 \sqrt{5}}$$

$$b = \frac{10}{\sqrt{5}}$$

$$b = 2\sqrt{5}$$

A questo punto, trovo il semiasse minore $a$ sapendo che nelle ellissi in cui l'asse maggiore è verticale (b>a) vale la relazione:

$$c = \sqrt{b^2 - a^2 }$$

Dove $b = 2\sqrt{5}$ e $c = 4$:

$$4 = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - a^2 }$$

$$4 = \sqrt{(4 \cdot 5 - a^2 }$$

$$4 = \sqrt{(20 - a^2 }$$

Elevo al quadrato entrambi i lati dell'equazione

$$(4)^2 = ( \sqrt{(20 - a^2 }  )^2$$

$$16 = 20 - a^2$$

$$a^2= 20 - 16$$

$$a^2 = 4$$

$$\sqrt{a^2} = \sqrt{4}$$

$$a=2$$

Quindi, il semiasse minore orizzontale è lungo 2.

A questo punto, noti $a= 2$ e $b = 2\sqrt{5}$ posso scrivere l'equazione dell'ellisse.

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{5})^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{e} + \frac{y^2}{4 \cdot 5} = 1$$

$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{20} = 1$$

Quindi, l'equazione dell'ellisse è:

$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{20} = 1$$

Ecco la rappresentazione grafica:

E così via.