Come determinare l'equazione dell'ellisse noto un punto e l'eccentricità

Per determinare l'equazione di un'ellisse centrata nell'origine date le coordinate di un punto e l'eccentricità dell'ellisse, sostituisco le coordinate del punto nell'equazione generale dell'ellisse

$$\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Poi a seconda se il semiasse maggiore è orizzontale o verticale considero la formula dell'eccentricità

• Se il semiasse maggiore è orizzontale (a>b)  $$e= \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2} }$$
• Se il semiasse maggiore è verticale (b>a)  $$e= \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2} }$$

Metto le due equazioni in un sistema e trovo i dati mancanti.

Nota. Se non conosco qual è l'asse maggiore dell'ellisse, devo considerare entrambe le ipotesi.

Un esempio pratico

Considero una ellisse che passa per il punto $(1, -\sqrt{3})$ e ha come eccentricità $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Non conosco il semiasse maggiore, quindi devo analizzare entrambe le ipotesi.

1] Primo caso: $a$ è il semiasse maggiore (a>b)

Quando il semiasse maggiore è orizzontale (a>b) la formula dell'eccentricità è:

$$e =  \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Elevo al quadrato entrambi i lati dell'equazione

$$(  \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} )^2 = ( \frac{\sqrt{3}}{3} )^2$$

$$1 - \frac{b^2}{a^2}  = \frac{3}{9} =$$

$$- \frac{b^2}{a^2}  = \frac{1}{3} - 1 =$$

$$- \frac{b^2}{a^2}  = \frac{1-3}{3}  =$$

$$- \frac{b^2}{a^2}  = - \frac{2}{3}  =$$

Moltiplico per -1 entrambi i lati

$$\frac{b^2}{a^2}  =  \frac{2}{3}$$

$$b^2  =  \frac{2}{3} a^2$$

Calcolo la radice quadrata in entrambi i lati dell'equazione

$$\sqrt{ b^2 }  = \sqrt{  \frac{2}{3} a^2 }$$

$$b = a \sqrt{\frac{2}{3}}$$

A questo punto sostituisco le coordinate del punto noto $(1, -\sqrt{3})$ nell'equazione generale dell'ellisse.

$$\frac{x^2}{a^2} +  \frac{x^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{1^2}{a^2} + \frac{(-\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$$

Sapendo che $b = a \sqrt{\frac{2}{3}}$ dalla formula dell'eccentricità, sostituisco $b$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{3}{(a \cdot \sqrt{ \frac{2}{3} })^2} = 1$$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{3}{a^2 \cdot \frac{2}{3}} = 1$$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{3}{\frac{2}{3} a^2} = 1$$

$$\frac{1}{a^2} + 3 \cdot \frac{3}{2a^2} = 1$$

$$\frac{1}{a^2} + \frac{9}{2 a^2} = 1$$

$$\frac{2+9}{2 a^2} = 1$$

$$\frac{11}{2 a^2} = 1$$

$$2 a^2 = 11$$

$$a^2 = \frac{11}{2}$$

$$a = \sqrt{\frac{11}{2}}$$

A questo punto, una volta nota la lunghezza di $a  = \sqrt{\frac{11}{2}}$ calcolo $b$

$$b = a \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$b =  \sqrt{\frac{11}{2}} \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$b =  \sqrt{ \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{3}}$$

$$b =  \sqrt{ \frac{11}{3} }$$

Quindi, l'equazione dell'ellisse con $a = \sqrt{\frac{11}{2}}$ e $b =  \sqrt{ \frac{11}{3} }$ è

$$\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{( \sqrt{\frac{11}{2}} )^2} +  \frac{y^2}{( \sqrt{ \frac{11}{3} } )^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{ \frac{11}{2} } +  \frac{y^2}{  \frac{11}{3} } = 1$$

$$\frac{2x^2}{ 11 } +  \frac{3y^2}{  11 } = 1$$

Ecco la rappresentazione grafica:

L'ellisse passa per il punto dato.

2] Secondo caso: $a$ è il semiasse minore (a<b)

Quando $b$ è il semiasse maggiore la formula dell'eccentricità è $$

$$e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Elevo al quadrato entrambi i lati dell'equazione

$$( \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} )^2 = ( \frac{\sqrt{3}}{3} )^2$$

$$1 - \frac{a^2}{b^2} =\frac{3}{9}$$

$$1 - \frac{a^2}{b^2} =\frac{1}{3}$$

$$- \frac{a^2}{b^2} =\frac{1}{3} - 1$$

$$- \frac{a^2}{b^2} =\frac{1-3}{3}$$

$$- \frac{a^2}{b^2} =- \frac{2}{3}$$

Moltiplico entrambi i lati per -1

$$\frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{3}$$

$$a = b \sqrt{\frac{2}{3}}$$

A questo punto sostituisco le coordinate del punto noto $(1, -\sqrt{3})$ nell'equazione generale dell'ellisse

$$\frac{x^2}{a^2} +  \frac{x^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{1^2}{a^2} + \frac{(-\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$$

Sapendo che $a = b \sqrt{\frac{2}{3}}$

$$\frac{1}{( b \sqrt{\frac{2}{3}} )^2} + \frac{3}{b^2} = 1$$

$$\frac{1}{b^2 \cdot \frac{2}{3}} + \frac{3}{b^2} = 1$$

$$\frac{3}{2 b^2} + \frac{3}{b^2} = 1$$

$$\frac{3+6}{2 b^2}  = 1$$

$$\frac{9}{2 b^2}  = 1$$

$$2 b^2 = 9$$

$$b^2 = \frac{9}{2}$$

$$b = \sqrt{\frac{9}{2}}$$

$$b = \frac{3}{\sqrt{2}}$$

Moltiplico e divido per la radice di due il lato a destra

$$b = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$

$$b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$

Una volta ottenuto il valore di $b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ posso calcolare $a$

$$a = b \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$a = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$a = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$

$$a = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$a = \frac{3 \cdot 2}{2 \sqrt{3}}$$

$$a = \frac{3}{\sqrt{3}}$$

$$a = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$a = \frac{3 \sqrt{3} }{\sqrt{3} \sqrt{3}}$$

$$a = \frac{3 \sqrt{3} }{3}$$

$$a = \sqrt{3}$$

A questo punto posso sostituire $a = \sqrt{3}$ e $b = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ nell'equazione generale dell'ellisse.

$$\frac{x^2}{a^2} +  \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{( \sqrt{3} )^2} +  \frac{y^2}{(  \frac{3 \sqrt{2}}{2}  )^2} = 1$$

$$\frac{x^2}{3} +  \frac{y^2}{  \frac{9 \cdot 2}{4} } = 1$$

$$\frac{x^2}{3} +  \frac{y^2}{  \frac{9}{2} } = 1$$

$$\frac{x^2}{3} +  \frac{2y^2}{ 9 } = 1$$

Questa è l'equazione dell'ellise se $b$ è il semiasse maggiore.

Ecco la rappresentazione grafica.

Quindi, l'ellisse che passa per il punto $(1, -\sqrt{3})$ e ha un'eccentricità di $\frac{\sqrt{3}}{3}$ può essere descritta da una delle due equazioni sopra, a seconda di quale assunzione (semiasse maggiore o minore) sia corretta.

E così via.