Condizioni affinché un’affinità sia una isometria
Un'affinità è una isometria quando sono soddisfatte le seguenti condizioni: $$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
Dimostrazione
Considero una trasformazione affine
\[
\begin{cases}
x' = a x + b y + c \\ \\
y' = a' x + b' y + c'
\end{cases}
\]
In un'affinità il determinante della matrice dei coefficienti non è nullo
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ a' & b' \end{pmatrix} \ne 0 \]
Prendo in considerazione due punti $ A(x_A;y_A) $ e $ B(x_B;y_B) $ del piano.
La loro distanza euclidea è la seguente:
$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_B)^2} $$
$$ \overline{AB} = \sqrt{ (\Delta x) ^2 + ( \Delta y)^2} $$
Le immagini dei due punti nella trasformazione affine sono $ A'(x'_A;y'_A) $ e $ B'(x'_B;y'_B) $
\[
\begin{cases}
x_A' = a x_A + b y_A + c \\ \\
y_A' = a' x_A + b' y_A + c'
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x_B' = a x_B + b y_B + c \\ \\
y_B' = a' x_B + b' y_B + c'
\end{cases}
\]
La distanza euclidea tra le immagini è la seguente:
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(x'_B-x'_A)^2 + (y'_B-x'_B)^2} $$
Sapendo che $ x'_A = a x_A + b y_A + c $ e $ x_B' = a x_B + b y_B + c $
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[(a x_B + b y_B + c)-(a x_A + b y_A + c)]^2 + (y'_B-x'_B)^2} $$
Sapendo che $ y_A' = a' x_A + b' y_A + c' $ e $ y_B' = a' x_B + b' y_B + c' $
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[(a x_B + b y_B + c)-(a x_A + b y_A + c)]^2 + [(a' x_B + b' y_B + c')-(a' x_A + b' y_A + c')]^2} $$
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a x_B + b y_B + c-a x_A - b y_A - c)]^2 + [a' x_B + b' y_B + c'-a' x_A - b' y_A - c')]^2} $$
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a (x_B -x_A) + b (y_B - y_A )]^2 + [a' ( x_B - x_A) + b' ( y_B - y_A ')]^2} $$
Per semplicità sostituisco $ \Delta x = x_B-x_A $ e $ \Delta y = y_B-y_A $
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a \Delta x + b \Delta y]^2 + [a' \Delta x + b' \Delta y]^2} $$
Svolgo i quadrati dei binomi
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{[a^2 (\Delta x)^2 + 2 (a \Delta x)(b \Delta y) + b^2 (\Delta y)^2] + [a'^2 (\Delta x)^2 + 2 (a' \Delta x) (b' \Delta y) + b'^2 (\Delta y)^2]} $$
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{a^2 (\Delta x)^2 + 2ab (\Delta x \Delta y) + b^2 (\Delta y)^2 + a'^2 (\Delta x)^2 + 2a'b' (\Delta x \Delta y) + b'^2 (\Delta y)^2} $$
$$ \overline{A'B'} = \sqrt{(a^2 + a'^2) (\Delta x)^2 + (b^2 + b'^2) (\Delta y)^2 + 2(ab+a'b') (\Delta x \Delta y) } $$
In una isometria le distanze non cambiano dopo la trasformazione
$$ \overline{AB} = \overline{A'B'} $$
$$ \sqrt{ (\Delta x) ^2 + ( \Delta y)^2} = \sqrt{(a^2 + a'^2) ( \Delta x )^2 + (b^2 + b'^2) (\Delta y)^2 + 2(ab+a'b') (\Delta x \Delta y) } $$
Questa uguaglianza è verificata soltanto se
$$ \sqrt{ (\Delta x) ^2 + ( \Delta y)^2} = \sqrt{ \underbrace{ (a^2 + a'^2) }_{=1} ( \Delta x )^2 + \underbrace{(b^2 + b'^2)}_{=1} (\Delta y)^2 + 2 \underbrace{ (ab+a'b') }_{=0} (\Delta x \Delta y) } $$
Quindi, dal confronto dei termini è evidente che le condizioni affinché un'affinità sia una isometria sono le seguenti:
$$ \begin{cases} a^2 + a'^2 = 1 \\ b^2 + b'^2 = 1 \\ ab + a'b' = 0 \end{cases} $$
Questo conclude la dimostrazione.
E così via.
