Esercizio sulle equazioni differenziali 8
In questo esercizio ho un'equazione differenziale del secondo ordine
$$ y'' - 5y' + 6y = 0 $$
E' un'equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti a=1, b=-5 e c=6.
Per risolverla scrivo l'equazione caratteristica usando una variabile ausiliaria t
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-5) \cdot t + 6 = 0 $$
$$ t^2 - 5t +6 = 0 $$
Risolvo l'equazione di 2° grado
$$ t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25-4(1)(6)}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} $$
$$ t = \frac{5 \pm 1}{2} $$
$$ t = \begin{pmatrix} \frac{5+1}{2}=3 \\ \\ \frac{5-1}{2}=2 \end{pmatrix} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni t1=3 e t2=-2
Sono due soluzioni distinte, quindo la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1e^{t_1x} + c_2e^{t_2x} $$
$$ y = c_1e^{3x} + c_2e^{2x} $$
Dove c1 e c2 sono costanti reali qualsiasi.
E così via.
