Esercizio sulle equazioni differenziali 6
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'' - y = 0 $$
E' un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine con i coefficienti a=1, b=0, c=-1.
Per risolverla scrivo l'equazione caratteristica usando la variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
Sostituisco a=1, b=0, c=-1
$$ 1 \cdot t^2 + 0 \cdot t + (-1) = 0 $$
$$ t^2 -1 = 0 $$
Poi trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica
$$ t^2 = 1 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{1} $$
$$ t = \pm 1 $$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono t1=1 e t2=-1
Essendo due soluzioni distinte, la soluzione dell'equazione differenziale è la seguente
$$ y = c_1 \cdot e^{t_1 x} + c_2 \cdot e^{t_2 x} $$
$$ y = c_1 \cdot e^{1 \cdot x} + c_2 \cdot e^{-1 \cdot x} $$
$$ y = c_1 \cdot e^{x} + c_2 \cdot e^{-x} $$
Questa è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
