Esercizio sulle equazioni differenziali 5

Ho l'equazione differenziale

$$xy''= 1$$

Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine perché la derivata di ordine più alto è la derivata seconda y''.

Esplicito la derivata seconda y'' in funzione di tutto il resto.

$$y'' = \frac{1}{x}$$

Si tratta di un'equazione differenziale elementare.

Quindi, per trovare la soluzione generale devo integrarla due volte.

Integro entrambi i membri dell'equazione.

$$\int y'' \ dx = \frac{1}{x} \ dx$$

L'integrale a destra è la primitiva log(x)+c₁

$$\int y'' \ dx = \log(x) + c_1$$

L'integrale a sinistra è la primitiva y'

$$y' = \log(x) + c_1$$

Integro per la seconda volta entrambi i membri

$$\int y' \ dx = \int \log(x) + c_1 \ dx$$

L'integrale a destra è la primitiva log(x)·x -x + c₁x+c₂

$$\int y' \ dx = \log(x) \cdot x - x + c_1x + c_2 \ dx$$

L'integrale a sinistra è la funzione incognita y

$$y = \log(x) \cdot x - x + c_1x + c_2 \ dx$$

Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

E così via.