Esercizio sulle equazioni differenziali 5
Ho l'equazione differenziale
$$ xy''= 1 $$
Si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine perché la derivata di ordine più alto è la derivata seconda y''.
Esplicito la derivata seconda y'' in funzione di tutto il resto.
$$ y'' = \frac{1}{x} $$
Si tratta di un'equazione differenziale elementare.
Quindi, per trovare la soluzione generale devo integrarla due volte.
Integro entrambi i membri dell'equazione.
$$ \int y'' \ dx = \frac{1}{x} \ dx $$
L'integrale a destra è la primitiva log(x)+c1
$$ \int y'' \ dx = \log(x) + c_1 $$
L'integrale a sinistra è la primitiva y'
$$ y' = \log(x) + c_1 $$
Integro per la seconda volta entrambi i membri
$$ \int y' \ dx = \int \log(x) + c_1 \ dx $$
L'integrale a destra è la primitiva log(x)·x -x + c1x+c2
$$ \int y' \ dx = \log(x) \cdot x - x + c_1x + c_2 \ dx $$
L'integrale a sinistra è la funzione incognita y
$$ y = \log(x) \cdot x - x + c_1x + c_2 \ dx $$
Il risultato finale è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
E così via.
