Esercizio sulle equazioni differenziali 22
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''+3y = x + 2 \cos(x) $$
Si tratta di un'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea.
Il termine noto è la somma di due termini noti speciali, ossia di un polinomio (x) e del coseno (cos).
Per risolvere l'equazione differenziale utilizzo il metodo della somiglianza e il principio di sovrapposizione delle soluzioni.
Quindi suddivido il problema in tre parti
1] Calcolo la soluzione omogenea
L'equazione differenziale omogenea dell'equazione differenziale è
$$ y''+3y = 0 $$
L'equazione caratteristica associata è
$$ z^2+3 = 0 $$
L'equazione caratteristica ha soluzioni complesse
$$ z^2 = -3 $$
$$ z = \sqrt{ -3 } = \sqrt{ -1 \cdot 3 } = \sqrt{ i^2 \cdot 3 } = \sqrt{3} \cdot i $$
$$ z = α + βi = 0 + \sqrt{ 3 } \cdot i $$
Nelle soluzioni complesse α=0 e β=√3
Quindi, la soluzione generale dell'omogenea è
$$ y = c_1 e^{\alpha x } \cos (\beta x) + c_2 e^{ \alpha x} \sin (\beta x) $$
Sapendo che α=0 e β=√3
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x } \cos (\sqrt{3} \cdot x) + c_2 e^{ 0 \cdot x} \sin (\sqrt{3} \cdot x) $$
$$ y = c_1 e^0 \cos (\sqrt{3} \cdot x) + c_2 e^0 \sin (\sqrt{3} \cdot x) $$
$$ y = c_1 \cdot 1 \cdot \cos (\sqrt{3} \cdot x) + c_2 \cdot 1 \cdot \sin (\sqrt{3} \cdot x) $$
Quindi la soluzione dell'omogenea è
$$ y = c_1 \cdot \cos (\sqrt{3} \cdot x) + c_2 \cdot \sin (\sqrt{3} \cdot x) $$
A questo punto devo calcolare la soluzione particolare
2] Calcolo la soluzione particolare
In questo caso il termine noto dell'equazione differenziale è la somma di due termini noti speciali
$$ y''+3y = x + 2 \cos(x) $$
Per il principio della sovrapposizione degli effetti la soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari ottenute dalle singole equazioni
$$ y''+3y = x $$
$$ y''+3y = 2 \cos(x) $$
Quindi, devo calcolare due soluzioni particolari e poi sommarle.
2.1] la prima soluzione particolare
La prima equazione ha come termine noto un polinomio P(x)=x.
$$ y''+3y = x $$
Si tratta di un polinomio P(x) di primo grado e l'equazione caratteristica ha il coefficiente c=3 diverso da zero.
Quindi, la prima soluzione particolare è
$$ y_{p1} = A+Bx $$
La derivata prima della soluzione particolare è
$$ y'_{p1} = D_x[ A+Bx ] = B $$
La derivata seconda è
$$ y''_{p1} = D_x[ B ] = 0 $$
Sostituisco yp1, y'p1 e y''p2 nell'equazione differenziale
$$ y''+3y = x $$
$$ [ 0 ] +3 \cdot [A+Bx] = x $$
$$ 3A+3Bx = x $$
Eguaglio i coefficienti e ottengo
$$ \begin{cases} 3A = 0 \\ \\ 3B = 1 \end{cases} $$
In questo modo posso calcolare i valori dei coefficienti
$$ \begin{cases} A = 0 \\ \\ B = \frac{1}{3} \end{cases} $$
Una volta calcolati A=0 e B=1/3 li sostituisco nella soluzione particolare
$$ y_{p1} = A+Bx $$
$$ y_{p1} = 0+ \frac{1}{3} x $$
$$ y_{p1} = \frac{x}{3} $$
2.2] la seconda soluzione particolare
La seconda equazione ha come termine noto il coseno
$$ y''+3y = 2 \cos(x) $$
La soluzione particolare ha una forma simile
$$ y_{p2} = A \cos (\lambda x) + B \sin ( \lambda x) $$
Dove λ è il coefficiente dell'argomento del coseno ossia cos(λx), pertanto λ=1
Verifico se λ=1 è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea z=λ=1
$$ z^2+3z = 0 $$
$$ 1^2+3 \cdot 3 = 0 $$
$$ 4 = 0 $$
Non è una soluzione dell'equazione caratteristica, quindi posso procedere con la soluzione particolare
$$ y_{p2} = A \cos (\lambda x) + B \sin ( \lambda x) $$
$$ y_{p2} = A \cos (1 \cdot x) + B \sin ( 1 \cdot x) $$
$$ y_{p2} = A \cos (x) + B \sin ( x) $$
Calcolo la derivata prima
$$ y'_{p2} = D_x[ A \cos (x) + B \sin ( x) ] $$
$$ y'_{p2} = -A \sin(x) + B \cos( x) $$
Calcolo la derivata seconda
$$ y''_{p2} = D_x[ -A \sin(x) + B \cos( x) ] $$
$$ y''_{p2} = -A \cos(x) - B \sin( x) $$
Sostituisco yp2, y'p2 e y''p2 nell'equazione differenziale
$$ y''+3y = 2 \cos(x) $$
$$ y''+3y = 2 \cos(x) $$
$$ [ -A \cos(x) - B \sin( x) ]+3 \cdot [ A \cos (x) + B \sin ( x) ] = 2 \cos(x) $$
$$ -A \cos(x) - B \sin( x) +3A \cos (x) + 3B \sin ( x) = 2 \cos(x) $$
$$ 2A \cos (x) + 2B \sin ( x) = 2 \cos(x) $$
Eguaglio i coefficienti
$$ \begin{cases} 2A = 2 \\ \\ 2B = 0 \end{cases} $$
Questo mi permette di calcolare i coefficienti costanti A e B
$$ \begin{cases} A = \frac{2}{2} = 1 \\ \\ B = 0 \end{cases} $$
Una volta ottenuti A=1 e B=0 li sostituisco nella soluzione particolare
$$ y_{p2} = A \cos (x) + B \sin ( x) $$
$$ y_{p2} = 1 \cdot \cos (x) + 0 \cdot \sin ( x) $$
Pertanto, la seconda soluzione particolare è
$$ y_{p2} = \cos (x) $$
2.3] la somma della prima e della seconda soluzione particolare
A questo punto per ottenere la soluzione particolare dell'equazione differenziale iniziale mi basta sommare le due soluzioni particolari
$$ y_p = y_{p1} + y_{p2} $$
Sapendo che yp1=x/3 e yp2=cos(x)
$$ y_p = \frac{x}{3} + \cos(x) $$
Quest'ultima è la soluzione particolare dell'equazione differenziale.
3] Calcolo la soluzione generale
La soluzione generale dell'equazione differenziale è uguale alla somma della soluzione omogenea e della soluzione particolare
$$ y = y_o + y_p $$
Sapendo che yo = c1 cos(x·√3) +c2 sin(x·√3) e yp=x/3+cos(x)
$$ y = [ c_1 \cdot \cos (\sqrt{3} \cdot x) + c_2 \cdot \sin (\sqrt{3} \cdot x) ] + [ \frac{x}{3} + \cos(x) ] $$
La soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1 \cdot \cos ( x \cdot \sqrt{3}) + c_2 \cdot \sin (x \cdot \sqrt{3} ) + \frac{x}{3} + \cos(x) $$
E così via.
