Esercizio sulle equazioni differenziali 15

Devo risolvere l'equazione differenziale

$$yy’-3x^2=2$$

Esplicito la derivata prima

$$y’ - \frac{3x^2}{y} = \frac{2}{y}$$

$$y’ = \frac{2}{y} + \frac{3x^2}{y}$$

$$y’ = \frac{2 + 3x^2}{y}$$

E’ un’equazione differenziale del tipo y’=f(x)g(y) con f(x)=2+3x^2 e g(y)=1/y

Si può risolvere con il metodo della separazione delle variabili.

Quindi, separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.

$$y \cdot y’ = 2 + 3x^2$$

Riscrivo la derivata prima nella notazione y'=dy/dx

$$y \cdot \frac{dy}{dx} = 2 + 3x^2$$

In questo modo separo dx

$$y \cdot dy = (2 + 3x^2) dx$$

A questo punto integro entrambi i membri

$$\int y \cdot dy = \int (2 + 3x^2) dx$$

L'integrale 2+x² è la primitiva 2x+x³+c

$$\int y \cdot dy = 2x + x^3 + c$$

L'integrale y si risolve con la primitiva y²/2

$$\frac{y^2}{2} = 2x + x^3 + c$$

Ricavo la funzione incognita y

$$y^2 = 2(2x + x^3 + c)$$

$$y^2 = 4x + 2x^3 + 2c$$

$$y^2 = 2x^3 + 4x + c$$

Calcolo la radice quadrata in entrambi i membri

$$\sqrt{ y^2 } = \sqrt{ 2x^3 + 4x + c }$$

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

$$y = \pm \sqrt{ 2x^3 + 4x + c }$$

Nota. In questa equazione differenziale non esiste anche la soluzione costante $$y' = \frac{x+1}{3y^2}$$ perché quando y=0 la funzione non è definita.

E così via.