Esercizio sulle equazioni differenziali 15
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ yy’-3x^2=2 $$
Esplicito la derivata prima
$$ y’ - \frac{3x^2}{y} = \frac{2}{y} $$
$$ y’ = \frac{2}{y} + \frac{3x^2}{y} $$
$$ y’ = \frac{2 + 3x^2}{y} $$
E’ un’equazione differenziale del tipo y’=f(x)g(y) con f(x)=2+3x^2 e g(y)=1/y
Si può risolvere con il metodo della separazione delle variabili.
Quindi, separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
$$ y \cdot y’ = 2 + 3x^2 $$
Riscrivo la derivata prima nella notazione y'=dy/dx
$$ y \cdot \frac{dy}{dx} = 2 + 3x^2 $$
In questo modo separo dx
$$ y \cdot dy = (2 + 3x^2) dx $$
A questo punto integro entrambi i membri
$$ \int y \cdot dy = \int (2 + 3x^2) dx $$
L'integrale 2+x2 è la primitiva 2x+x3+c
$$ \int y \cdot dy = 2x + x^3 + c $$
L'integrale y si risolve con la primitiva y2/2
$$ \frac{y^2}{2} = 2x + x^3 + c $$
Ricavo la funzione incognita y
$$ y^2 = 2(2x + x^3 + c) $$
$$ y^2 = 4x + 2x^3 + 2c $$
$$ y^2 = 2x^3 + 4x + c $$
Calcolo la radice quadrata in entrambi i membri
$$ \sqrt{ y^2 } = \sqrt{ 2x^3 + 4x + c }$$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \pm \sqrt{ 2x^3 + 4x + c }$$
Nota. In questa equazione differenziale non esiste anche la soluzione costante $$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$ perché quando y=0 la funzione non è definita.
E così via.