Esercizio sulle equazioni differenziali 14
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ 3y^2y' = x+1 $$
Esplicito la derivata prima y'
$$ \frac{3y^2y'}{3y^2} = \frac{x+1}{3y^2} $$
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
Ora l'equazione differenziale è nella forma y'=f(x)g(x) con f(x)=(x+1)/3 e g(y)=1/y2
$$ y' = \frac{x+1}{3} \cdot \frac{1}{y^2} $$
Quindi può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili.
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
Riscrivo y' nella notazione dy/dx e separo dx
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{3y^2} $$
$$ dy = \frac{x+1}{3y^2} dx $$
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.
$$ 3y^2 \cdot dy = (x+1) \cdot dx $$
Integro entrambi i membri
$$ \int 3y^2 \cdot dy = \int (x+1) \cdot dx $$
$$ 3 \cdot \int y^2 \cdot dy = \int (x+1) \cdot dx $$
L'integrale x+1 è la primitiva x2/2+x+c
$$ 3 \cdot \int y^2 \cdot dy = \frac{x^2}{2}+x +c $$
L'integrale y2 si risolve con la primitiva y3/3
$$ 3 \cdot \frac{ y^3 }{ 3 } = \frac{x^2}{2}+x +c $$
$$ y^3 = \frac{x^2}{2}+x +c $$
Ricavo la funzione incognita y applicando la radice cubica
$$ \sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c } $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c } $$
Infine verifico se esiste anche una soluzione costante con y=0.
$$ y' = \frac{x+1}{3y^2} $$
Quando y=0 la funzione non è definita. Quindi, in questo caso non esiste una soluzione costante.
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
$$ y = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c } $$
E così via.
