Esercizio sulle equazioni differenziali 14

Devo risolvere l'equazione differenziale

$3y^2y' = x+1$

Esplicito la derivata prima y'

$\frac{3y^2y'}{3y^2} = \frac{x+1}{3y^2}$

$y' = \frac{x+1}{3y^2}$

Ora l'equazione differenziale è nella forma y'=f(x)g(x) con f(x)=(x+1)/3 e g(y)=1/y²

$y' = \frac{x+1}{3} \cdot \frac{1}{y^2}$

$y' = \frac{x+1}{3y^2}$

Riscrivo y' nella notazione dy/dx e separo dx

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{3y^2}$

$dy = \frac{x+1}{3y^2} dx$

Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione.

$3y^2 \cdot dy = (x+1) \cdot dx$

Integro entrambi i membri

$\int 3y^2 \cdot dy = \int (x+1) \cdot dx$

$3 \cdot \int y^2 \cdot dy = \int (x+1) \cdot dx$

L'integrale x+1 è la primitiva x²/2+x+c

$3 \cdot \int y^2 \cdot dy = \frac{x^2}{2}+x +c$

L'integrale y² si risolve con la primitiva y³/3

$3 \cdot \frac{ y^3 }{ 3 } = \frac{x^2}{2}+x +c$

$y^3 = \frac{x^2}{2}+x +c$

Ricavo la funzione incognita y applicando la radice cubica

$\sqrt[3]{y^3} = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c }$

Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.

$y = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c }$

Infine verifico se esiste anche una soluzione costante con y=0.

$y' = \frac{x+1}{3y^2}$

Quando y=0 la funzione non è definita. Quindi, in questo caso non esiste una soluzione costante.

Pertanto, la soluzione dell'integrale è

$y = \sqrt[3]{ \frac{x^2}{2}+x +c }$

E così via.