Esercizio sulle equazioni differenziali 13
Devo risolvere questa equazione differenziale del secondo ordine
$$ y''+y=0 $$
Si tratta di un'equazione differenziale lineare e omogenea con coefficienti a=1, b=0, c=1.
Per risolverla scrivo l'equazione caratteristica usando la variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 1 = 0 $$
$$ t^2 + 1 = 0 $$
Trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica
$$ t^2 = - 1 $$
$$ \sqrt{t^2} = \sqrt{-1} $$
$$ t = \sqrt{-1} $$
Il radicando è un numero negativo.
Quindi, per calcolare la radice quadrata devo usare i numeri complessi.
Il quadrato dell'unità immaginaria è meno 1 ossia i2=-1
$$ t = \sqrt{\cdot i^2} $$
$$ t = \pm i $$
Pertanto, le soluzioni dell'equazione caratteristica sono due numeri complessi in forma algebrica α±iβ
$$ t = \pm 1 = \begin{cases} t_1 = -i \\ \\ t_2 = +i \end{cases} $$
La parte reale delle soluzioni è α=0 mentre il coefficiente della parte immaginaria è β=1
Essendo due soluzioni complesse, l'equazione differenziale si risolve in questo modo
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos (\beta x ) + c_2 \cdot e^{\alpha x} \sin (\beta x ) $$
$$ y = c_1 e^{0 \cdot x} \cos (1 \cdot x ) + c_2 \cdot e^{0 \cdot x} \sin (1 \cdot x ) $$
Sapendo che e0=1
$$ y = c_1 \cdot 1 \cdot \cos (x ) + c_2 \cdot 1 \cdot \sin (x ) $$
$$ y = c_1 \cos (x ) + c_2 \sin (x ) $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = c_1 \cos (x ) + c_2 \sin (x ) $$
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
