Esercizio sulle equazioni differenziali 11
Devo risolvere questa equazione differenziale del 2° ordine
$$ y'' - 2y' + 2y = 0 $$
E' una equazione differenziale lineare omogenea con coefficienti costanti a=1, b=-2 e c=2.
Per risolverla scrivo l'equazione caratteristica usando la variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 +(-2) \cdot t + 2 = 0 $$
$$ t^2 -2t +2 = 0 $$
Calcolo le soluzioni dell'equazione di 2° grado
$$ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4-4(1)(2)}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} $$
Il radicando è negativo. Quindi per calcolare la radice quadrata ricorro ai numeri complessi.
Sapendo che -1 è uguale al quadrato dell'unità immaginaria ossia i2=-1.
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{-1 \cdot 4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm \sqrt{i^2 \cdot 4}}{2} $$
$$ t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2} $$
Ora il radicando è positivo e la radice quadrata può essere calcolata.
$$ t = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2} $$
$$ t = \begin{cases} \frac{2+2i}{2}=1+i \\ \\ \frac{2-2i}{2}=1-i \end{cases} $$
L'equazione caratteristica ha due soluzioni complesse t1=1+i e t2=1-i
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = c_1 e^{\alpha x } \cos (\beta x) + c_2 e^{ \alpha x} \sin (\beta x) $$
Sostituisco α=1 e β=1 perchè le soluzioni complesse sono t1=α+iβ=1+i e t2=α+iβ=1-i
$$ y = c_1 e^{1 \cdot x } \cos (1 \cdot x) + c_2 e^{ 1 \cdot x} \sin ( 1 \cdot x ) $$
$$ y = c_1 e^{x} \cos (x) + c_2 e^{x} \sin (x ) $$
Il risultato finale è la soluzione generale dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
