Esercizio sulle equazioni differenziali del 2° ordine
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y''+2y'+3y=0 $$
E' un'equazione lineare del 2° ordine, lineare e omogenea con coefficienti a=1, b=2, c=3.
Pertanto, posso risolverla tramite l'equazione caratteristica usando la variabile ausiliaria t.
$$ a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0 $$
$$ 1 \cdot t^2 + 2 \cdot t + 3 = 0 $$
$$ t^2 + 2t + 3 = 0 $$
L'equazione caratteristica ha le seguenti soluzioni
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1)(3)}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} $$
Il radicando è un numero negativo.
Quindi, per calcolare la radice quadrata devo ricorrere ai numeri complessi.
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{8 \cdot (-1)}}{2} $$
Sapendo che il quadrato dell'unità immaginaria è meno 1 ossia i2=-1
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{8 \cdot i^2}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2} $$
Ora il radicando è positivo e posso calcolare la radice quadrata.
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot \sqrt{2^3}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot \sqrt{2^2 \cdot 2}}{2} $$
$$ t = \frac{-2 \pm i \cdot 2 \sqrt{2}}{2} $$
$$ t = -1 \pm i \cdot \sqrt{2} $$
Quindi, le soluzioni dell'equazione caratteristica sono due soluzioni complesse
$$ t = -1 \pm i \cdot \sqrt{2} = \begin{cases} t_1 = -1+i \cdot \sqrt{2} \\ \\ t_2 = -1-i \cdot \sqrt{2} \end{cases} $$
Pertanto, la parte reale delle soluzioni è α=-1 mentre il coefficiente della parte immaginaria è β=√2
Essendo due soluzioni complesse, l'equazione differenziale si può risolvere in questo modo
$$ y = c_1 e^{\alpha x} \cos (\beta x ) + c_2 \cot e^{\alpha x} \sin (\beta x ) $$
$$ y = c_1 e^{-1 \cdot x} \cos (\sqrt{2} \cdot x ) + c_2 \cot e^{-1 \cdot x} \sin (\sqrt{2} \cdot x ) $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = c_1 e^{-x} \cos (\sqrt{2} x ) + c_2 \cot e^{-x} \sin (\sqrt{2} x ) $$
Dove c1 e c2 sono due costanti reali qualsiasi.
E così via.
