Esercizio equazione differenziale 2
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ \begin{cases} y' - x^2 = 0 \\ x = 4 \\ y = \frac{1}{4} \end{cases} $$
E' un'equazione differenziale del 1° ordine perché la derivata di ordine maggiore è la derivata prima y'.
Inoltre, è un problema di Cauchy perché l'equazione differenziale ha due condizioni iniziali
$$ x=4 $$
$$ y = \frac{1}{4} $$
Detto in parole più semplici, tra le infinite soluzioni devo trovare la soluzione particolare con la curva integrale che passa per il punto (x;y)=(4;1/4)
Riscrivo l'equazione differenziale in forma normale esplicitando la derivata prima y' in funzione di tutte le altre.
$$ y' = x^2 $$
E' un'equazione differenziale a variabili separabili del tipo y'=f(x)·g(y) con f(x)=x2 e g(y)=1.
Indico la derivata prima nella notazione di Leibniz y'=dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} = x^2 $$
Quindi separo le due variabili tra loro.
Porto la variabile y al primo membro dell'equazione e la variabile x secondo membro.
$$ dy = x^2 \ dx $$
Poi integro entrambi i membri dell'equazione per le rispettive variabili.
$$ \int dy = \int x^2 \ dx $$
$$ \int 1 \ dy = \int x^2 \ dx $$
L'integrale a sinistra è la funzione primitiva F(y)=y+c1
$$ y + c_1 = \int x^2 \ dx $$
L'integrale a destra è la funzione primitiva F(x)=x3/3+c2
$$ y + c_1 = \frac{x^3}{3} + c_2 $$
Considero una sola volta la costante c=c2-c1 dove c è un numero reale qualsiasi, positivo o negativo.
In questo modo trovo la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
Per trovare la soluzione particolare (integrale particolare) devo calcolare il valore della costante c nel punto (x;y)=(4;1/4)
Sostituisco x=4 e y=1/4 alla soluzione generale ed esplicito la costante c.
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
$$ \frac{1}{4} = \frac{4^3}{3} + c $$
$$ c = \frac{1}{4} - \frac{64}{3} $$
$$ c = \frac{3-256}{12} $$
$$ c = - \frac{253}{12} $$
Pertanto la soluzione particolare dell'equazione differenziale la ottengo assegnando c=-253/12 alla soluzione generale
$$ y = \frac{x^3}{3} + c $$
$$ y = \frac{x^3}{3} - \frac{253}{12} $$
L'equazione differenziale è risolta.
E così via
