Esercizio equazione differenziale 5
Devo risolvere l'equazione differenziale
$$ y'+xy=0 $$
E' un'equazione differenziale del 1° ordine perché la derivata di ordine più alto della funzione incognita è la derivata prima y'.
E' un'equazione differenziale lineare.
Quindi, per risolverla posso seguire due strade alternative.
Metodo 1
Posso risolvere l'equazione differenziale con il metodo delle variabili sostituibili.
$$ y'+xy=0 $$
Riscrivo la derivata y' nella forma più comoda dy/dx
$$ \frac{dy}{dx} +xy=0 $$
Separo le variabili x e y nei due membri dell'equazione
$$ \frac{dy}{dx} = - xy $$
$$ \frac{dy}{y} = - x \cdot dx $$
Poi integro entrambi i membri per le rispettive variabili
$$ \int \frac{dy}{y} = \int - x \cdot dx $$
$$ \int \frac{1}{y} \ dy = - \int x \ dx $$
Il primo integrale si risolve con la funzione primitiva log y+c
$$ \log(y) + c = - \int x \ dx $$
Il secondo integrale si risolve con la funzione primitiva x2/2
$$ \log(y) + c = - \frac{x^2}{2} + c_2 $$
Considero una sola costante c in quanto è inutile averne due.
$$ \log(y) = - \frac{x^2}{2} + c $$
Per ricavare la funzione incognita y applico l'esponenziale in entrambi i membri dell'equazione.
$$ e^{\log(y)} = e^{- \frac{x^2}{2} + c} $$
$$ y = e{- \frac{x^2}{2}} \cdot e^c $$
$$ y = \frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}} \cdot e^c $$
Il termine ec è un valore costante, quindi, posso indicarlo semplicemente con c.
$$ y = \frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}} \cdot c $$
Il risultato è la soluzione generale dell'equazione differenziale.
$$ y = \frac{c}{e^{\frac{x^2}{2}}} $$
Metodo 2
L'equazione differenziale è lineare del primo ordine del tipo y'+a(x)y=b(x) dove con a(x)=x e b(x)=0
$$ y'+xy=0 $$
Quindi, posso risolverla anche usando il metodo di Lagrange.
Scrivo la formula di Lagrange
$$ y = e^{- \int a(x) dx } \cdot [ \int b(x) \cdot e^{\int a(x) dx} + c ] $$
Sostituisco a(x)=x e b(x)=0
$$ y = e^{- \int x dx } \cdot [ 0 \cdot e^{\int x dx} + c ] $$
$$ y = e^{- \int x dx } \cdot c $$
L'integrale di x è la primitiva x2/2
$$ y = e^{- \frac{x^2}{2} } \cdot c $$
$$ y = \frac{1}{e^{\frac{x^2}{2} }} \cdot c $$
Quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale è
$$ y = \frac{c}{e^{\frac{x^2}{2} }} $$
Il risultato è lo stesso
E così via.
